篇一：方阵问题习题集
方阵问题
知识点总结：
概念：学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 核心公式：
一、实心方阵
1、方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数
2、方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3、方阵外一层每边人数比相邻内一层每边人数多2
4、去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
5、每层数=（每边数-1）×4
二、空心方阵
1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数
2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷2
3、内一层数=相邻外一层数-8
4、每层数=（每边数-1）×4
5、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
1、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
2、同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个这个方阵共有多少人？
3、若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？
4、某班抽出一些学生参加节日活动队表演，想排成一个正方形方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？
5、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？
6、学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
7、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
8、一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？
9、小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
10、参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？
11、参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
12、解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
13、学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？
14、一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？
15、小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？
16、游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？
17、有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？
18、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？
14、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
19、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
20、“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?
21、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
22、若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。
23、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？
24、有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?
25、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
26、为了绿化小区，在一块正方形的地四周种树，四个角都种一棵，每边种13棵，这块地的四周共有多少棵树？
27、有学生若干人，排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？
28、学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好 横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？
29、仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决 定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？
30、用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每 边应放多少粒？
31、有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？
32、一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多 少人？
33、设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
篇二：第八章方阵问题经典例题和练习题
第八章
方阵问题
一、 知识要点及基本方法
方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。
数量关系：
（1）方阵每边人数和四周人数的关系：
（每边人数-1）×4=四周人数
四周人数÷4+1=每边人数
（2）方阵总人数的计算方法：
实心方阵：每边人数×每边人数=总人数
空心方阵：外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数 若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：
（外边人数-层数）×层数×4=总人数
二、例题精讲
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学？
解题分析 这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？
解：8×8=64（人）
答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？
解题分析 依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？
6×6=36（只）
（2）最外层有多少只棋子？
（6-1）×4=20（只）
答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
例3 一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？
解题分析 排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一
列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下的棋子数。
解：（1）去掉多少只棋子？
8×2-1=15（只）
（2）还剩多少只棋子？
8×8-15=49（只）
答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。
例4 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？
解题分析 排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。
解：（1）原来方阵中每排有多少人？
（5+26-1）÷2=15（人）
（2）四年级共有多少人？
15×15+5=230（人）
答：育英小学四年级有230人。
例5 同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？
解题分析 要求出这个方阵有多少人，就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人。
解：[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人）
答：这个方阵共有84人。
例6 某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。这个小学四年级的学生一共有多少人？
解题分析 排成四层空心方阵多15人，在方阵的空心部分增加一层21人，说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21）人，根据每相邻两层的人数相差8人，可分别求出每层人数，然后霜加，再加上多的15人，就可求出四年级的总人数。
解：（1）从外向内第五层有多少人？
15+21=36（人）
（2）从外向内第四层有多少人？
36+8=44（人）
（3）从外向内第三层有多少人？
44+8=52（人）
（4）从外向内第二层有多少人？
52+8=60（人）
（5）最外层有多少人？
60+8=68（人）
（6）四年级一共有多少人？
44+52+60+68+15=239（人）
答：四年级的学生一共有239人。
练习题
1． 同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少
人？ 9×9=81（人）
2． 同学们排队站成一个实心方阵，排成11行11列，如果去掉一
篇三：方阵问题练习题
方阵问题
同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受
检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个
正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:
(1) 方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的
人数就少2。
(2) 每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1] ×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×
空心方阵的层数×4
例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 分析:根据四周人数与每边人数的关系可知: 每边人数=四周人数÷4+1,
可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。 解:方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)
整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)
答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)
答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。 例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组
成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?
分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。 (2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙
方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)
÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人) 答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。 当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)
(3) 当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)柳树:7×7-25=24(棵)
(4) 当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)杨树7×7-25=24(棵)
答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24
棵,柳树25棵。 练 一 练
1. 有一队士兵,排成了一个方阵,最外层一周共有240人,问这个方阵共有多少人?
(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)
2. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?
(2)(20-2×3-1)×4=42(个) (20-40×4×4=256(个)
3. 六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?
(3)最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数 204÷4÷3+3=20(盆)
4. 三年级(1)班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形一周共有多少名学生?三(1)班参加体操表演的共有多少人?
7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)
5.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?
最外层松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)
共有松柏树是:(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵)
答:柏树41棵,松树40棵,或松树41棵,柏树40棵。
一. 典型例题：
例1. 军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
例2. 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？
分析与解：此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)÷2
即：原来每行人数是14人
原来准备参加表演的人数：196人
答：四年级原准备196人参加表演。
《方阵问题习题集》出自：百味书屋
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