篇一：涉及空集问题定稿
对空集的理解
1.集合A?{1},B?{x|ax?1}，若B?A，求a的值.
2.已知集合M?{x|x2?1}，集合N?{x|ax?1}，若N?M，则a的值是_____________。
3.已知集合A?{x|ax2?2x?1?0,x?R}，
（1）若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；
（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的值;
（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的值;
篇二：空集 高一数学
《高中数学课程标准到学习目标的分解与评价研究》案例
空集
【课程标准教学要求】
①空集基本概念，理解它与0、含0元素的集合等特殊集合及元素的关系；理解空集与集合间基本关系A?(或?)B、集合运算（A∩B=A 或者A∪B=A）相关内容；提高分类讨论意识。
②结合实例,学会利用补集思想解决空集问题（A∩B≠Ф）。
【分解依据】
高一上册期中考试，必然有大题考察集合基本关系和基本运算，基本关系和基本运算都相对简单，但涉及空集时学生往往考虑不全或者讨论不清。从知识特点看，空集是一种特殊的集合，它具有一般集合的特性，又具有与集合基本关系、集合运算和简易逻辑的特殊性。从数学思想看，空集的特殊性归为分类讨论思想，完整掌握空集相关知识，学会分类讨论，培养学生严密的逻辑。
具体分解如下:
① 空集概念与识别；
② 空集在集合间基本关系、集合运算和简易逻辑中的特殊性；
③ 分类讨论思想，数学思考的缜密。
【学习目标】
由以上解读与分解，确立学习目标如下：
（1）空集概念和识别；
（2）空集在集合间基本关系、集合运算和简易逻辑中的特殊性；
（3）能够完整讨论集合问题，尤其考虑空集情况；
（4）特殊情况下能够学会利用补集概念解题
教学设计《空集》
【教学目标】
（1） 空集的概念：元素个数为0的集合叫空集；能够识别空集并区别空集与0，含有0元素的集合，含有空集
的集合；
（2） 空集在集合间基本关系中的特殊性，空集在集合运算中的特殊性，空集时简易逻辑中的“非”。
（3） 学会分类讨论，完善处理集合问题。
【过程设计与评价设计】
一、 空集基本概念什么是空集？它与一般集合的关系和区别是什么？
例1.判断下列几个命题，将正确的填在横线上_______．
① ???0?
② ??A
③ ?????
④ ?xy?x2?1????x,y?y?x2?1???．
练习：下列集合表示空集的是（ ）
Ａ
Ｃ ?0? Ｂ ??x,y?y2??x2,x?R,y?R? ?xx?5,x?Z,x?N? Ｄ?x2x2?3x?2?0,x?N?
二、 空集在集合基本关系集合基本运算中的特殊性A?(或?)B；A∩B=A；A∪B=B
例2．设A?
解：集合?xx2?8x?15?0? B??xax?1?0?若B?A，求实数a组成的集合． A??3,5?．
?B?A，?集合B可能为?、?3?或?5?．
当B为?时，方程ax?1?0无解，所以a
当B为?0； 1； 3
1． 5?3?时，方程ax?1?0的解为3，所以3a?1?0即a??5?时，方程ax?1?0的解为５，所以5a?1?0即a?
?11?,?． 35??当B为综上所述实数a组成的集合为?0,
评注：本题用到了分类讨论思想，在对集合B讨论时，不要只注意到单元素集合还要注意到?的情况．本题充分体现了，空集是任何集合的子集．
练习：已知集合A?
例3设A?
解：集合?xx2?3x?10?0?，集合B??xp?1?x?2p?1?，若B?A，求p的范围． ?xx2?6x?8?0?，B?x?x?a??x?3a??0??，若A?B??，求a的取值范围． A??x2?x?4?．
?A?B??，?集合B为?或不为?．
当B为?时，a?3a即a
当B不为?时，
若a?3a即a?0时，B
若a?3a即a
或a?4．
综上所述a的取值范围为???,?0； ??x3a?x?a?，则A?B??； ?0时，B??xa?x?3a?，由A?B??，得3a?2或a?4，则0?a?2 3?
?2???4,???． ?3?
评注：如果集合B中的元素满足一个含参数的不等式，有A?B??、A?B?B等，就要特别注意B为
?的情况．本题我们要解含参不等式，就要从三方面进行讨论，其中第１种情况就要先想到B为?． 练习1：设A??xx2?4x?0?B?xx2?2?a?1?x?a2?1?0
2??若A?B?B，求a的值． 练习2：（衡水2012高一期中） （1） 设集合A={x||x|≤3}，B={y|y=-x+t}，若A∩B=Ф，求实数t的取值范围；
（2） 集合A={y|y=-x+4,x∈N，y∈N}的真子集个数为多少。
练习3：（衡水2011高一期中）已知函数
设2f(x)?x2?3x?10的两个零点为x1,x2(x1?x2)， A?{x|x?x1,或x?x2}，B?{x|2m?1?x?3m?2}，且A?B??，求实数m的取值范围．
三、 补集思想（A∩B≠Ф）
例4．已知集合A?
解：集合
若?xx2?x?6?B??x0?x?m?9?若A?B??，求m的范围． A??x?2?x?3?，集合B??xm?x?m?9?． A?B??，则m?9??2或m?3即m??11或m?3．
A?B??，则?11?m?3． 那么
评注：本题正面考虑不太好想，所以采用了“反证法”的“正难则反”的思想，从反面入手先解得满足A?B??的m的取值范围，再利用补集思想转回来解决了问题．所以只要是出现A?B??求参数范围的问题，我们都可以从它的对立面利用?解决问题方便的原则来考虑．
练习1：集合A?
若?aax2?4x?1??2x2?a恒成立?B?xx2??2m?1?x?m?m?1??0?? A?B??，求m的范围．
五、评价检测题
1. 若集合A?
【答案】D
2. 下列五个写法中①
⑤0???x|x2?0?，则下列结论中正确的是（） A C、A?? D、??A A、A=0B、0??0???0,1,2?，②???0?，③?0,1,2???1,2,0?，④0??， ???，错误的写法个数是（）
A、1个 B、2个C、3个 D、4个
【答案】C
3. 设集合A?{x|x2?3x?4?0}，B?{x|ax?1?0}，若A?B?B，
14则实数a= 。 【答案】0,?,1
4. 已知集合A= ?1,1 ，B= x mx=1 ,且A∪B=A，则m = ( )
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D.1或-1或0
【答案】D
5. 已知集合A= x ?2≤x≤5 ，B={x|m+1≤x≤2m?1},若A∩B=B，求m取值范围。
【答案】 (?∞,3]
6.（衡水2011高一期中） 已知集合A?{x|x2?5x?1?0},B?{y|y?x2?a,x?R}，若2
A?B??，则a的取值范围是 （ A.(??,?111D.(??,?2] ] B.(?,??)C.[?4,?] 224
【答案】 B
篇三：高中数学教学论文
高中数学复习应注重的两种方法
甘肃省合水县第一中学 745400 刘克江
一、系统复习高三教材及总结数学思想与方法
系统复习教材。教师归纳知识体系是单元复习的重点。要提高复习效果，掌握复习教材的方法。对教材要有正确认识，万丈高楼平地起，学会把教材“由厚变薄”，强调“给知识演电影”，建立学科知识体系，漫无边际地看教材意义不大，复习教材的方法是“看目录—想内容—去翻书—作练习”，尤其是教材中“总复习参考题”的内容，经常有高考题的基础题，是它们的引伸、变形、拓宽；挖掘典型例题、练习题，把握学科思想方法；学习“由厚变薄”到“由薄变厚”是质的飞跃。
教材复习的两个层次要求：首先是“熟练教材，适当拓宽”。具体包括教材中概念、定理、法则、公式等知识系统的把握，灵活运用；掌握知识的来龙去脉，能够自己推导公式。掌握教材体系，是复习教材的基本要求，是“继承”。同时对曾经做过的练习题、课堂学习笔记、错题本等内容进行整理复习，系统掌握，进行知识拓宽。
其次是“构建网络，形成体系”。是在上一步的基础上，按照知识结构、学习系统、解题规律等方面对教材内容进行科学整合，这是建立知识体系的过程，是一种较高要求，是“发展”，体现创新精神，同时，又是归纳、概括能力的重要标志。
系统总结数学思维与方法。考查数学思想方法是高考中考查能力的要求。高中阶段数学思想主要包括函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、参数思想等。数学方法主要包括换元法、消元法、待定系数法、配方法、判别式法、反证法、比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法等。各个单元的特殊的思想与方法，要在复习中认真总结。例如立体部分中的割补思想、等积法、平面展开图法等；函数部分中集合思想、对称思想、图象法、反函数法、单调性法、变换法、运动法、导数法等；三角函数部分中切割化弦的思想、化积思想、转化思想、公式活用、公式逆用、降幂思想、变角、变结构、变名称等。公式多，选择多，歧路多，要学会选择，主要体现化归的思路；数列部分中迭加法、叠代法、递推法、错位相减法、演绎法、归纳法、构造法、极限法、数学归纳法等；解析几何部分中运动思想观点、对称观点、代点法、定义法、点差法、参数法、交轨法等。
我们可以肯定的是：“习题”无限，而“学科思想”有限，“学科方法”有限，“知识点”有限，“题型”有限。强调“以题带法，以法解题，解一个题，即代表一类题”，这是提高学习效率，轻负担的必由之路!
二、备考要有“针对性”注意各类题型的方法总结
加强各种题型宏观指导：判断题注意概念(尤其是内涵与外延)；选择题注意方法；填空题注意技巧；解答题注意过程。
1.选择题的常用解法有：计算法、排除法、赋值法、验证法、图象法、分析法、极限法、估 算法、特例法（包括特殊点、特殊值、特殊图形、特殊方程、特殊模型等），此外，分析法、观察法、反证法、猜测法等，都可用来解选择题，充分利用题目的信息，综合运用，很多选 择题的解决不是单一的，因而可择最
佳解法。
2.填空题的解法：填空题题小，跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐的综合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略技巧。如：整体代入法、图象法、分类法、顺推巧算、建立模型法、特例法，直接法等等，根据题的需要，选准思维策略，灵活选择方法，推演步步为营，迅速准确无误，最终提高填空题的速度和准确率。
3.完整的“解题训练”：完整的解题训练包括审题关、步骤关、结果关、反思关。我们学生的普遍情况是同学们重视结果，忽视审题，欠缺步骤，不具备反思。
坚持审题三读，具体包括，泛读，明确是几个条件，求什么?细读，关键要把握关键字、词，数量关系、单位等；精读，就是要深入思考，注意挖掘隐含条件。
书面表达要求：要坚持“字迹工整、格式规范、推证合理、详略得当”。字迹工整，是网上阅卷要求，强调字迹要求写工整，包括字间距、行距适中，笔画交代清楚，用黑色钢笔书写。
格式规范包括文字说明的规范化，计算结果的规范化，运算过程的规范化，作图的规范化，表达书写中符号语言表达的规范化等。
推证合理就是要先有“因为”，后有“所以”，不能没有“因为”，一直“所以”，造成推理论证的逻辑错误。详略得当就是要求重点内容、难点突破要详写，其他内容略写。
4.数学应用题：应用题主要是考察学生解决实际问题的能力，是综合思维能力的反映。要想解好应用题，最好要过以下“五关”：心理关，相信自己能够通过数学知识的系统学习，解决数学应用题；事理关，就是数学问题要符合实际，学生本人在具体思考解决过程中要符合生活实际，不能异想天开；文理关，就是要能够读懂问题，包括关键的字、词的理解；数量关，就是在具体的处理中，分清数学应用题的类型，按照各个单元的知识，建立数学的模型，从而解决问题。情理关，数学问题的结果要符合实际。
应用题要做到审题在先，坚持2至3遍，书面表达过程中坚持“设—列—解(化简)—答”的过程。“设”包括引进的各种量的含义、单位等，“列”就是建立数学模型的过程，“解”就是化简过程，“答”就是去伪存真的过程。
在高考复习教学中，只要做到能够贯彻以上两种方法。同时，加强对学生的练习要求，一定能提高学生的解题能力。
《2017年高中数学教学论文对空集的认识》出自：百味书屋
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