篇一：哈工大概率论小论文
概率论课程小论文
计算机科学与技术学院
信息安全专业一班(1303201)
姓名：宫庆红
学号：1130320103
概率论中用到的几种数学思想
作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进行简单的讨论。
一．概率论中的数学归纳法思想
在概率问题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论, 这些结论在使用数学归纳法来证明时, 常常需要配合使用全概率公式, 从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色。
例l 设有冷个罐子, 在每一个罐子中各有m 个白球与k 个黑球, 从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中, 并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。
分析: 先探索规律, 设n =2
令 H1=“ 从第一个罐子中取出一个球, 是白球”
H2=“ 从第二个罐子中取出一个球, 是白球”
显然P(H1)=m
m?k,所求之概率
P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1)
=mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k
这恰与n=1时的结论是一样的，于是可以预见，不管n为什么自然数，所求的概率都应是m。 m?k
上述预测的正确性是很容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i个罐子中去除一个球，是白球”(i=1,2,……n)设当n=t时，结论成立，即 P(Ht)=m m?k
则当n=t+1时，有
P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht’)P(Ht+1|Ht’) mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k
k于是，结论P(Hn)=对任意自然数n都是成立的。 m?k =
不难看出，在这里数学归纳法之所以能顺利进行，那是由于在知道从第t个罐中取出的球的颜色（比如是白球）之后，第t+1罐的新总体成分就完全清楚了。（相当于从第t罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k个黑球）所以相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=m?1m(或P(Ht|Ht’)=)也就随之而得了。 m?k?1m?k?1
二．概率论中的微积分思想
在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的基础。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得重视的问题。现在，简单归纳一些问题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。 幂级数方法
例1 设随机变量ξ服从参数为（r,p）的负二项分布，（r≧1,0<p<1）,即
P{ξ=m}=Cm?1pr?1rqm?r,m=r,r+1,……q=1-p,
求E(ξ).
解 这道题的解题过程中要用到公式 1
(1?x)??Cmxr?1
m?r?rm?r。 ?1n这个公式是有??x(0?x?1)连续逐项求导r次后得到的。事1?xn?0
实上E(?)??mCm?1pr?1m?r?rqm?r?rp?Cqrm?rmr?m?r?rpr1(1?q)?r?1r. p
三．概率论中的集合论思想
集合论是在十九世纪末由德国数学家康托创立的, 以后逐步发展形成一门独立学科, 现已渗透到数学的各个分支。早在上世纪30 年代初, 冯#米泽斯就开始用集合论观点研究事件。以下主要探讨集合论观点在概率论中的应用。概率论中有关事件与概率部分内容, 概念、公式繁多, 难以理解,以下结合集合论知识可直观地理解概率论中基本知识。
1 集合及运算
1.1集合及事件。
集合是一个原始概念, 康托曾这样描述过它: 集合就是由某些确定的能够区分的对象( 具体的或抽象的事物) 汇集而成的一个整体。组成集合的每一个对象( 事物) 称为该集合的元素。如果集合A 中的所有元素都是集合B 的元素, 称A 为B 的子集。
概率论中引进集合论, 用集合来研究事件, 使得概率论的研究更加严格化。将随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间, 用Ω表示。样本空间的每一个元素即试验的每一个可能的结果,
称为基本事件或样本点, 用w 表示。而随机事件由若干个基本事件组成, 可看作样本空间的一个子集, 用A 、B 、C 表示。在一次试验中出现的样本点w?A? 事件A 发生, 反之, 若w?A?事件A 不发生。Ω是自身的子集, 每次试验中必然发生, 称必然事件。空集?也是样本空间的子集, 在每次试验中不可能发生, 称不可能事件。
1.2集合的关系及运算。
集合的关系和运算有: 包含、相等、并、交、差、补、对称差。而用集合论观点定义的事件也有相应的关系及运算: 包含、相等、和、交、互不相容、差、对立、对称差。集合论中, 通常用文氏图来表示集合间的关系及运算, 全集U 用一个矩形表示, 矩形中的点表示元素, 每个子集用该矩形内的闭区域( 常用圆形区域) 表示。类似地, 当事件间的关系及运算借助于文氏图来表示时, 就比较直观,易于理解、掌握。
1.3 运算律。
集合的运算律对事件同样适用, 运算律包括否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律和对偶原则。
以上性质关于和与交的等式有一特点, 等式都是配对出现的, 把其中一个等式中的运算和换成交,交换成和, 那么便得到另一等式, 这种性质称为对偶性质, 和与交是一对对偶运算。而关于差, 对称差就没有这种对偶性质, 如分配律, 有C ( A - B ) = CA - CB 成立, 即交对差的分配律成立, 而和对差的分配律不成交。有A(B?C) = ( AB)?( AC ) 成立, 交关于对称差的分配律成立, 而和关于对称差
篇二：哈工大概率论小论文
Harbin Institute of Technology
概率论与数理统计
结课论文
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哈尔滨工业大学
通过一个学习跟着王老师学习概率论与数理统计，发现概率论与数理统计和以前学的工数、线数有很大的区别，概率论与数理统计研究的不再是一个确定的值，而是发生一个事件概率的大小，是一个估计量。概率统计抛弃了数学中的“确定性”，以“不确定性”的视角看待世界，我觉得工数等都是研究数学公理，但概率论与数理统计是真正贴近日常生活中的人类感知的。通过查阅资料发现概率论是一门研究随机现象现象统计规律的一门数学学科，并且广泛应用于控制、通信、生物、物理、力学、社会科学以及其他工程技术等诸多领域中获得了广泛的应用。自然界的现象可以分为确定性现象和随机现象两大类。对于确定的现象就是现象就是在一定条件下必然现象，例如：太阳东升西落，水从高处流向低处等。而随机现象指的是在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，例如：抛一枚硬币，可能是正面也可能是反面；抛一个骰子，观察出现的点数，可能是1，2，3，4，5，6中任意一点，也就是条件不能完全决定结果。我发现问题不在简单，通过老师的讲解，我发现生活中好多地方都应用了概率论与数理统计的知识，下面我就选择几个我比较感兴趣的方面谈一谈自己的看法和感受。
最令我感兴趣的就是正态分布，在老师讲的一个定理中，中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。这个定理最奇妙的地方就是对任意随机变量序列X1,X2,X3。。。Xn,独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差E(Xi)=μ，D(Xi)= σ>0(i=1，2，3···)，都可以看成是一个正态分布。这个定理当时听老师说特别好，是因为条件不是特别苛刻，就可以得到一个特别漂亮的结论，我也觉得这个结论特别的神奇，无论什么样的分布最后当趋近于无穷的时候都可以变成是正态分布。通过的理解，感觉中心极限就是实验次数很多，这时就可以用正态分布来计算这个二项分布的事件的概率。
第二个问题就是我们大家都买过的彩票，彩票在各个国家都有，许多人都梦想着一夜之间变成千万或百万富翁，但这种游戏究竟我们有多大的中奖概率呢，我们就用我们学习的概率论的问题来简单的解释一下这件事。假如有1万个人抽奖，每个人参与抽奖需要交2块钱，彩票公司由于自身需要盈利，所以假设他只拿1万元作为中奖的奖金。把这个问题看成最简单的情况，我们每个人的中奖概率一样，也就是一万分之一，那么每个人获得回报的期望就是1元，回报小于自己的付出，肯定是很不值得的。虽然每次参与抽奖的费用不高，中奖奖金又是上亿元，所以大家购买彩票的欲望才会这么高。但实际上对于自己来说是痴心妄想，不要总想着不劳而获，还是付出自己的努力，获得的成果才是属于自己的。
第三个问题就是考试（对于选择题比较多的考试，例如英语考试），总有同学总是想着2
碰碰运气，有那种侥幸的心理。假设有100个选择题，得六十分是及格，这个可以看成是100重伯努利试验。得到的概率是多少呢，1000亿考生不到一个人可以通过。所以这个靠着运气通过考试是根本不可能的，我们做事就应该脚踏实地，不应该投机取巧，抱有侥幸心理。
在社会中，并不存在“给你一个因为，你还给我一个所以”的确定性，生活中大部分的事都是不确定的，所以一切社会规律，都需要概率论与数理统计才挖掘。现在我想谈谈关于概率论与数理统计教学方面的一点小小的建议。我认为我们这个作为工科，在学习概率论等数学学科的时候应该多贴近我们所学的专业，应该多涉及关于我们专业的应用。数学学习对于我们工科来说就是一个工具，我们通过数学这个工具来解决各种的实际问题，觉得在学习数学定理公式的同时，应该多加一些数学建模数学应用的内容，让学生们知道学习这门课程对于实际问题的应用，更有利于学生们对于这门课程的学习，也有益于提高学生对于这门课程的兴趣。希望在以后讲完每章节后，有一道两道的关于这个专业与数理统计和概率论中的应用，让同学们感觉到这门课与自己的专业联系有多密切。培养分析实际问题，对实际问题进行数学建模，然后通过数学工具解决实际问题，这才是工科学生学习概率论与数理统计的最终目的，这样的教学就慢慢的培养出学生们学习的兴趣，也就提高了概率论与数理统计教学质量和效果。
学习了概率论与数理统计使我受益匪浅，一开始觉得这个很难很抽象，但在王勇老师的教授下，思路渐渐的清晰，也发现它的实际应用特别广泛，几乎遍布所有的科学技术领域、工农业生产、国名经济以及我们的日常生活。概率论是一门比较有意思的课程，是我们进行学习，科研的有效的数学工具，学完了这门课，使我多学会了一种数学工具的使用，掌握了用这个数学工具如何解决实际问题的能力，懂得了如何把理论和实践统一起来。在今后的学习工作中，我要加强对概率论与数理统计的应用，是它真正的成为我们解决数学问题的工具，使用在我们的学习、工作、科研之中。
篇三：哈工大概率论小论文
Harbin Institute of Technology
概率论与数理统计小论文
课程名称：论文题目：
院 系：班 级：
姓 名：学 号：哈尔滨工业大学
17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。”
一、 概率论的起源
概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。
1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。
1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。该问题可以简化为：
甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。
帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：
情
况
胜
者
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
帕斯卡与费马用组合方法给出了正确解答。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。后来他们还研究了更复杂的在多个赌徒间分赌注的问题。
1655年，荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到了帕斯卡与费马的工作详情之后，也饶有兴趣地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关于赌博中的推断》（1657年）一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。
1 甲甲 2 甲乙 3 乙甲 4 乙乙
二、 概率论的公理化
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯(R.von Mises,1883-1953)对概率论的理论化做了最早的尝试，但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。这方面的先行者是法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)他首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列 1， 2，...，服从大数定律的条件问题。他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。
1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于域中的每一个事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫做该事件的概率。在这里，概率论的定义同样是抽象的，并不涉及频率或其他任何有具体背景的概念。他还提出了6条公理，之后的整个概率论大厦都可以从这6条公理开始建起。科尔莫戈罗夫的公理系也因此逐渐获得了数学家们的普遍承认。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是出色的教育家。他多次获得国际大奖，1965年，他把得到的国际巴桑奖金全数捐赠给学校图书馆，1980年他荣获沃尔夫奖。
概率论的公理化，使其成为了一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。
三、 概率论的进一步发展
概率论本质上是研究随机现象的一门科学。这类现象与必然科学截然不同，他的条件与结果之间并不存在某种必然的联系，也就是说，在相同的条件下，可能会发生某一结果，也可能不发生这一结果。例如投掷一枚硬币，既可能正面朝上，也可能反面朝上。但是，这并不意味着就不能用数量来描述和研究它们。投掷硬币，投掷一次似乎没有什么规律性可言，但当它们大量出现时，在总体上却会呈现出某种规律，我们就称这种总体上的规律性为统计规律性，它的存在构成了或然数学研究的基础。
关于概率论方法的讨论最初是由帕斯卡和费马二人以通信的形式展开的。它们虽然没有提出明确的概念定义，但他们在估计赌徒获胜的可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比来做，这实质上就是早期古典概率的概念。他们会同惠更斯一起，给出了概率、数学期望等基本概念的雏形，并得到相应的性质和计算方法，这些都表明，当时概率已成为具有本身特定研究对象的一门独立学科。
后来，由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以及天文学、物理学等学科的应用，很快引起了许多数学家的关注，概率论的发展也随之进入了一个崭新的阶段。
1718年，法国数学家隶莫弗（De Moivre,Abraham,1667—1754）发表了《机遇原理》，他首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，并讨论了许多投掷骰子和其他赌博的问题。
1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。在科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的
重要代表人物还有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔(J.Ville)引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。像任何一门公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。
值得我们高兴的是，我国数学家在概率论的研究方面也取得了许多重要的成果。数学家侯振廷年轻时发表的著名论文《Q过程的唯一性准则》得到国内外学者的高度评价，荣获1978年度的英国戴维逊奖。
四、 概率论的历史评价
到17 世纪时,不少学者已对赌博中的某些问题进行了讨论,并挖掘了其中的数学原理。但对当时的大多数学家来说,概率论是庸俗的赌博游戏,难登大雅之堂。是社会的发展及其需要,才推动了概率论的发展。如果没有社会的需要,概率论至今恐怕仍然只能在牌桌上显示神通。我觉得“概率论产生于赌博”这个观点是不完全对的，“赌博问题”和“理性思考”是概率论产生的两个必要条件,而后者更重要。
与其它数学分支的形成与发展一样，概率论的形成与发展推动了新的数学思想和方法形成，如随机思想、假设检验思想等等。同时，新的数学思想与方法又极大地推动了数学的发展，正因为有公理化思想作指导，概率论才得以发展成为一门严格的演绎科学。四百年以前“赌注下在多少点最有利？”的问题，现在看起来实在简单不过了，但在当时，由于基本思想与方法的局限性，虽然有许多人为此进行不懈地探索，却很难有大的突破。因此，从某种意义上说，概率论的形成与发展实质也是新的数学思想和方法的形成与发展的历史。
了解概率论的历史有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所说：“一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科之一，这无疑是令人惊讶的事情。”
五、概率论的应用：
发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。例如，天气预报的制作就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时间经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，利用电子计算机，根据历史资料制作天气预报。用这种方法制作的天气预报称为概率天气预报，即用概率值表示预报量出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的"有"或"无"，某种气象要素值"大"或"小"，而是天气现象出现的可能性有多大。如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面，又反映了天气变化的不确定性和不确定程度。在许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要。这种预报法预报量的概率值。
与其它数学分支的形成与发展一样，概率论的形成与发展推动了新的数学思想和方法形成，如随机思想、假设检验思想等等。同时，新的数学思想与方法又极大地推动了数学的发展，正因为有公理化思想作指导，概率论才得以发展成为一门严格的演绎科学。四百年以前“赌注下在多少点最有利？”的问题，现在看起来实在简单不过了，但在当时，由于基本思想与方法的局限性，虽然有许多人为此进行不懈地探索，却很难有大的突破。因此，从某种意义上说，概率论的形成与发展实质也是新的数学思想和方法的形成与发展的历史。
正如我国在近现代科学的发展中地位不高一样，概率论没能在我国产生与发展。概率论传入我国的历史也不长，在上个世纪初才传入我国。1905年京师大学堂的数学教科学《普通代数学》中有概率问题的讨论。上个世纪30、40年代在我国产生广泛影响的《范氏大代数》一书中有不少对古典概率的讨论。50年代，我国的数学教育以学习前苏联为主，概率论被从中小学数学教学中“驱逐出境”，到了60年代，我国曾把作为大学内容的概率初步知识下放到中小学教材，由于是将大学数学下放到中小学，终因其理论要求过高、内容过深，与学生的生活经验与认知水平之间存在过大差距而“水土不服”，以至没能在中小学站住脚。虽然在80年代，教育界曾关注过概率统计在中小学的教学，但由于当时的概率只是高中的选学内容，高考不考，教师不教，学生不学，概率教学难免形同虚设。直到最近几年，教育界才真正关注并重视了概率论的教育价值，以前所未有的地位将它写入《数学课程标准》。
为了使大家更直观的了解概率论的应用，下面我给大家举一个概率论在社会调查中应用的例子。对于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方法可以得到较准确的结论。举个例子，对一批即将出国留学的学生进行调查，确定学业完成后愿意回国者所占的比例。对于"完成学业后，你是否会回国"这一问题，很多人不希望透露自己的真实想法。为了得到正确的结论，我们将问题稍加调整，将"完成学业后，你是否会回国"定位问题a，另设问题b："你的年龄是奇数"。将a、b组成一组问题，让被调查者抛硬币决定回答问题a或b，并且在问卷上不标示被调查者回答的是问题a还是问题b。解除了顾虑后，被调查者都会给出真实的想法。然后，运用概率论方法，我们就可以从调查结果中得到我们想知道的回国者比例。假定有300人接受调查，结果有130个"是"。因为被调查者回答问题a、b的概率各是50%，所以将各有约150人回答a或b问题。又被调查者年龄是奇数的概率各是50%，所以150个回答b问题的人中，约有75个"是"。那么130个"是"的答案中，约有55个"是"是问题a的答案，于是我们就可以得到完成学业后愿意回国者的比例约55/150即11/30。
现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
参考文献
概率统计第一章http://wenku.baidu.com/view/62f4f48884868762caaed58b.html 概率论2 http://wenku.baidu.com/view/03a009dad15abe23482f4d26.html
概率1.4 http://wenku.baidu.com/view/fe6e2f3183c4bb4cf7ecd1c6.html
概率论发展史/p-160382430.html
《哈工大概率论小论文》出自：百味书屋
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