篇一:信号与系统习题答案(7-10)
7.22 信号y(t)由两个均为带限的信号x1(t)和x2(t)卷积而成,即
y(t)?x1(t)?x2(t) 其中
X1(j?)?0 , ??1000?X2(j?)?0 , ??2000?
现对y(t)作冲激串采样,以得到
yp(t)??y(nT)?(t?nT)
????
请给出y(t)保证能从yp(t)中恢复出来的采样周期T的范围。
解:根据傅立叶变换性质,可得
Y(j?)?X1(j?)X2(j?) 因此,有
当??1000?时,Y(j?)?0
即y(t)的最高频率为1000?,所以y(t)的奈奎施特率为2?1000??2000?,因此最大采样周期T?
2?
?10?3(s),所以当T?10?3(s)时能保证y(t)从2000?
yp(t)中恢复出来。
7.27如图7.27(a)一采样系统,x(t)是实信号,且其频谱函数为X(j?),如图7.27(b)。频率?0选为?0?
1
??1??2?,低通滤波器H?j??的截至频率为2
?c?
1
??2??1?。 2
1. 画出输出x2?t?的频谱X2?j??;
2. 确定最大采样周期T,以使得x?t?可以从xp
?t?恢复;
图7.27(a)
图7.27(b) 解:
1、x(t)经复指数调制后的x1(t)?x(t)e
?j?0t
,其傅立叶变换为
X1(j?)?X(j(???0))如图(a)所示。
1(j?)
1
2(j?
)1
1221
22
1221
22
图(a)图(b) 经低通滤波器H(j?)的输出x2(t)的频谱X2(j?)如图(b)所示。 2、由图(b)可见,X2(j?)的带宽为?2??1 ,所以最大采样周期为 Tmax?
2?
?2??1
8.3设x?t?是一实值信号,并有X?j???0,??2000?,现进行幅度调制以产生信号g?t??x?t?sin?2000?t?,图4-1给出一种解调方法,其中g?t?是输入,y?t?是输出,理想低通滤波器截止频率为2000?,通带增益为2,试确定y?t?。
g?ty?t?
cos?2000?t?
图4-1
解:w(t)?g?t?cos(2000?)?x?t?sin?2000?t?cos(2000?)?
对 w(t)进行傅立叶变换 W(j?)?
11X?j(??4000?)??X?j(??4000?)?4j4j
1
x?t?sin?4000?t? 2
因为X?j???0, ??2000?
很明显,W(j?)?0, ??2000?,所以w(t)通过截止频率为2000?的理想低通滤波器后的输出y(t)?0。 9.17
解:系统可以看作是由H1?s?和H2?s? 的并联构成
H1?s??H2?s??
s2
?
1?s)s?8s1
?
1?s)s?2
3s?12
2
s?10s?16
H?s??H1?s??H2?s??
H?s??
Y(s)3s?12
?2 X(s)s?10s?16
Y(s)(s2?10s?16)?X(s)(3s?12) 求上式反变换,有
d2y(t)dy(t)dx(t)
?10?16y(t)?12x(t)?3 dtdtdt
9.28考虑一LTI系统,其系统函数H?s?的零极点图如图9.28所示。 1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域ROC。
2.对于1中所标定的每个ROC,给出有关的系统是否是稳定和/或因果的。
Im
图9.28
解:1. 可能的收敛域ROC为: (1)Re{s}??2
(2)?2?Re{s}??1 (3)?1?Re{s}?1 (4)Re{s}?1
2. (1)Re{s}??2,不稳定和反因果的。 (2)?2?Re{s}??1,不稳定和非因果的。
(3)?1?Re{s}?1,稳定和非因果的。 (4)Re{s}?1,不稳定和因果的。
9.31有一连续时间LTI系统,其输入x?t?和输出y?t?由下列微分方程所关联:
d2y(t)dy(t)
??2y(t)?x(t) 2
dtdt
设X?s?和Y?s?分别是x?t?和y?t?的拉普拉斯变换,H?s?是系统单位冲激响应h?t?的拉普拉斯变换。
1. 求H?s?,画出H?s?的零极点图。 2. 对下列每一种情况求h?t?:
(1)系统是稳定的。(2)系统是因果的。(3)系统既不稳定又不是因果的。
解:
1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换,得
s2Y?s??sY?s??2Y?s??X?s?所以得 H?s??
Y(s)11
?2?
X(s)s?s?2(s?2)(s?1)
s)
其零—极点图如图(a)所示。 图(a) 2、H?s??
Y(s)111111
?2???
X(s)s?s?2(s?2)(s?1)3s?23s?1
(1)当系统是稳定时,其收敛域为?1???s??2,所以有
11
h?t???e2tu(?t)?e?tu(t)
33
(2)当系统是稳定时,其收敛域为??s??2,所以有
11
h?t??e2tu(t)?e?tu(t)
33
(3)当系统是非因果的和不稳定的时,其收敛域为??s???1,所以有
11
h?t???e2tu(?t)?e?tu(?t)
3310.18
解:(a)
1?6z?1?8z?2H?Z??(此为直接型Ⅱ结构,详见第二章课件分析)
2?11?21?z?z39Y(Z)1?6z?1?8z?2
?由H?Z??得
X(Z)1?z?1?z?239
2?11?2
z?z)?X(Z)(1?6z?1?8z?2) 39
求上式Z反变换,得
21
y[n]?y[n?1]?y[n?2]?x[n]?6x[n?1]?8x[n?2]
39(b)
1
系统有一个二阶极点z?,由于系统是因果的,所以收敛域为
3Y(Z)(1?
篇二:信号与系统习题解答
第一章 信号分析基础
思考题
1、信号有哪些类型,各类信号的特点是什么? 答:
2、信号与函数有何同异点?
3、正交函数满足什么条件?具有相似性的函数是否正交?能否正交函数集中的某个函数用其余函数表示出来?
4、信号的基函数表示法有何重要意义? 5、δ t 函数有哪些重要性质? 6、阶跃函数有什么应用? 7、u(t)与δ t 有何关系?
8、由信号的脉冲分解表达式解释脉冲分解的含义。
9、信号或序列的时移、反褶、波形展缩各有什么含义?三者之间有何差异? 10、同一信号的连续函数与离散函数有什么异同点?信号采样应满足什么条件?否则会出现什么情况?
11、信号采样有哪些方法?
习题
1-1 绘出下列信号的波形图
x = t, y = t heaviside(t)
)
(tf-2
246
t
x = t, y = t heaviside(t-1)64
)
(tf20
-2
24
6
t
1-2 绘出下列信号的波形图
x = t, y = (2-exp(-t)) heaviside(t)543
)
(tf210-1
-2
246
t
x = t, y = (3 exp(-t)+6 exp(-t)) heaviside(t)86
)
(tf420-5
5
10
t
x = t, y = (t2-1) (heaviside(t)-heaviside(t-2)))
(tf-2
2
4
6
t
x = t, y = (t2-1) (heaviside(t+1)-heaviside(t-1))64
)
(tf20
-4
-2
2
4
t
x = t, y = (4 exp(-t)-4 exp(-3 t)) heaviside(t)6
4
)
(tf20
-2
2
4
6
t
x = t, y = exp(-t) cos(10 ? t) (heaviside(t-1)-heaviside(t-2))
6
4
)
(tf20-4
-2
2
4
6
t
1-3 写出如图所示各波形的函数表达式
(1)
x = t, y = (t+1) (heaviside(t+1)-heaviside(t))+(1-t) (heaviside(t)-heaviside(t-1))
32.52
f(t)
1.510.50
-2-1.5-1-0.5
0t
0.511.52
表达式为:f t = t?1 u t+1 ?u t + 1?t u t ?u t?1(2)
x = t, y = heaviside(t+2)-heaviside(t-2)+...-heaviside(t-1)
3.532.52
f(t)
1.510.50-0.5-3
-2-1
0t
123
表达式为:f t = u t+2 ?u(t?2) + u t+1 ?u(t?1) (3)
x = t, y = -sin(? t) (heaviside(t)-heaviside(t-1))
f(t)
-2
-1.5
-1
-0.5
0t
0.5
1
1.5
2
表达式为:f t =?sin(Tt) u t ?u t?T
π
1-4 试证明cost、cos2t、….、cosnt(n为整数)是在区间(0, 2π)中的正交函数集。
证明:
1-5 上题中函数集是否是区间(0,π/2)中的正交函数集。
证明:
上式只有i , j同时为偶数或奇数时才为0,否则不为0,故函数集在(0,π/2)内不是正交函数集。
本题或者直接使用反证法求证,即i和j直接取不满足条件的值求证。
1-6 1,x,x2,x3是否是区间(0,1)中的正交函数集。
证明:
≠j),而本题取i=0,j=1可得,
则该函数几何在(0,1)区间上不是正交函数集。
1-7 试利用冲激信号的抽样性质,求下列表示式的函数值。
+∞
1、 f t?t0 δ t dt=f 0?t0 =?? ????? ?∞
2、 f t0?t δ t dt=f t0?0 =?? ???? ?∞
000
3、 δt?tu t?dt=u t? =??00?∞222
+∞
+∞ttt
+∞
4、 δ t?t0 u t?2t0 dt=u t0?2t0 =?? ?t0 ?∞
5、 u t?3 δ t?4 dt=u 4?3 =?? ?∞
6、 u t δ t+1 +δ t+1 dt=u ?1 +u 1 =??+??=?? ?∞
+∞
+∞
篇三:信号与系统课后习题与解答第一章
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号,若是离散时间信号是否为数字信号?
图1-1
图1-2
解 信号分类如下:
?续(例见图1?(2a))?模拟:幅值、时间均连连续??
连续(例见图1?(2b))??量化:幅值离散,时间信号?图1-1所示信号分别为
抽样:时间离散,幅值连续(例见图1?(2c))?离散???散(例见图1?(2d))?数字:幅值、时间均离?(a)连续信号(模拟信号);
(b)连续(量化)信号; (c)离散信号,数字信号; (d)离散信号;
(e)离散信号,数字信号; (f)离散信号,数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号?(重复1-1题所示问) (1)e?atsin(?t); (2)e?nT; (3)cos(n?); (4)sin(n?0); (?0为任意值)
?1?
(5)??。
?2?解
由1-1题的分析可知: (1)连续信号; (2)离散信号;
(3)离散信号,数字信号; (4)离散信号; (5)离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T: (1)cos(10t)?cos(30t); (2)ej10t;
(3)[5sin(8t)]2;
(4)?(?1)n?u(t?nT)?u(t?nT?T)(。 ?n为整数)
n?0?
2
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号,需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数,若存在,则该复合信号的周期极为此公倍数;若不存在,则该复合信号为非周期信号。
???
(1)对于分量cos(10t)其周期T1?;对于分量cos(30t),其周期T2?。由于
5515
为T1、T2的最小公倍数,所以此信号的周期T?
?。 5
(2)由欧拉公式ej?t?cos(?t)?jsin(?t) 即ej10t?cos(10t)?jsin(10t)
2???。 得周期T?
105
1?cos(16t)25252
??cos(16t) (3)因为?5sin(8t)??25?
222
2???。 所以周期T?
168
(4)由于
?1,2nT?t?(2n?1)T
原函数?? n为正整数
??1,(2n?1)T?t?(2n?2)T
其图形如图1-3所示,所以周期为2T。
图1-3
1-4对于教材例1-1所示信号,由f(t)求f(-3t-2),但改变运算顺序,先求f(3t)或先求f(-t), 讨论所得结果是否与原例之结果一致。
解 原信号参见例1-1,下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序,由f(t)的波形求得f(-3t-2)的波形。
两种方法分别示于图1-4和图1-5中。
方法一:
倍乘
2
图1-4
方法二:2图1-5
1-5 已知f(t),为求f(t0?at)应按下列那种运算求得正确结果(式中t0,a都为正值)? (1)f(?at)左移t0; (2)f(at)右移t0;
t0
; at
(4)f(?at)右移0。
a
解 (1)因为f(?at)左移t0,得到的是f??a(t?t0)??f(?at?at0),所以采用此种
(3)f(at)左移
运算不行。
(2)因为f(at)右移t0,得到的是f?a(t?t0)??f(at?at0),所以采用此运算不行。
t0t??
,得到的是f?a(t?0)??f(at?t0),所以采用此运算不行。 aa??tt??
(4)因为f(?at)右移0,得到的是f??a(t?0)??f(t0?at),所以采用此运算不
aa??
行。
1-6 绘出下列各信号的波形:
?1?
(1)?1?sin(?t)?sin(8?t);
?2?
(2)?1?sin(?t)?sin(8?t)。
(3)因为f(at)左移
?1?
解 (1)波形如图1-6所示(图中f(t)??1?sin(?t)??sin(8?t))。
?2?
(2)波形如图所示1-7(图中f(t)??1?
1-7 绘出下列各信号的波形:
4?
(1)?u(t)?u(t?T)?sin(t);
T
4?
(2)?u(t)?2u(t?T)?u(t?2T)?sin(t)。
T
T4?
解 sin(t)的周期为。
2T
4?
(1)波形如图1-8(a)所示(图中?u(t)?u(t?T)?sin(t))。在区间?0,T?,内,包
T
4?
含有sin(t)的两个周期。
T
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