篇一：数学归纳法在中学数学中的应用
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数学归纳法在中学数学中的应用
作者：冀萍
来源：《软件·教育现代化》2015年第05期
[摘要]数学归纳法是根据归纳原理应用演绎推理的一种特殊的数学推理方法，它在许多数学问题的证明中起着重要作用。本文主要阐述了数学归纳法的本源以及其它形式，并且列举出数学归纳法在解决数学问题方面的应用。
[关键词]数学归纳法 本源 命题
篇二：数学归纳法在中学数学教学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用
摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。
关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用
引言
数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。
一、数学归纳法的概念
在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？
数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题n?n0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n?k时命题成立，再证明当n?k?1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。
而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数公理的的第五条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n，N也一定包含后继数n?，则N包含所有自然数。[2]
归纳公理用准确的逻辑术语表达了自然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。从1开始，一个一个地选取可以达到任意自然数。这样一下子把整个自然数的无穷集合引入到论证中去，从而清楚地阐明了，为什么数学归纳法只用证两步，命题就被证明了。
而这两种数学归纳法也数学归纳法有第一数学归纳法、第二数学归纳法等。
是最常用的方法。
第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①?? 当n?n0(n?N?)时，P(n)成立；
② 假设当n?k(k?n0,k?N?)时，P(n)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么根据①、②知对一切正整数N?，n?n0时，P(n)都成立。
第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①?? 当n?n0(n?N?)时，P(n)成立；
② 假设n?k(k?n0,k?N?)时，P(n)也成立，由此推证n?k?1时，P(n)也成立，那么根据①、②对一切正整数n?n0时，P(n)都成立。
在数学学习中，我们除了要掌握一些基本的计算问题外，还必须要求证明论断的正确性的问题，也就是所谓的“证明题”，解决这些证明题就是要作一整串的推理，而这些推理方法一般只是在有限的问题才能使用，我们把范围扩大为无限时，还能用这些方法解决问题吗？ 在数学里，常常要求对全体的对象来下结论，并且希望能证明我们的判断是正确的，那么这个问题将怎样解决呢？很明显，数学归纳法是解决这个问题的一种方法并且数学归纳法是严格的证明方法，并不是提供猜想的方法，它可以通过“有限来解决无限”的问题，使我们所用的归纳法成为完全归纳法，从而证明了论断的正确性。
二、正确的应用数学归纳法
有的人会认为数学归纳法很简单，就是那么两步：① 当n?1时，命题成立；② 假设n?k时，命题也成立，由此推证n?k?1时，命题也成立，那么根据①、
②这个命题就成立了。
看似真的很简单，但是真的将数学归纳法应用到实际数学问题当中就会存在很多问题。
例1 用数学归纳法证明：
1?2?3?……?n=n(n?1),(n?N?) 2
证明：（1）当n?1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，故等式成立。
k(k?1)成立； 2
(k?1)(k?2) 当n?k?1时，1?2?……?k?(k?1)?。 2
(k?1)[(k?1)?1](k?1)(k?2)而 ?22 （2）假设n?k时，这个等式成立。即1?2?……?k?
所以n?k?1时，原等式同样成立。
由归纳原理可知：1?2?3?……?n=
这个证明对吗？
不仔细看，上面的证明方法好像是正确的，上面的证明似乎也应用了数学归纳法的两个步骤，特别的第二步也有了从“k”到“k?1”的论证，但是事实上在证明1?2?……?k?k?(
1?2?……?k?(k?1k)?(?22)的时候根本没有应用n(n?1),(n?N?)成立。 2k(k?1)这个式子作为基础来导出上面的等式，所谓的“k”到2
“k?1”的论证只不过是要把证明的等式写出来加以“注解”而已，等于什么事也没有做。
然而正确的做法应当是这样的：
当n?1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，等式成立。 假设n?k时，这个等式成立。即1?2?……?k?k(k?1)成立； 2
这时把等式的左右两边同时加上k?1，得： 1?2?……?k?(k?1)?k(k?1)?(k?1)2
k2?k2k?2k2?3k?2(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)?1]?????22222
也就是说当n?k?1时，上式成立。
由归纳原理可知：1?2?3?……?n=n(n?1)成立。 2
例2[3] 是否存在常数a，b，c，使得等式
1?22?2?32???n??n?1??2n??n?1?
12?an2?bn?c?
对于一切正整数n都成立？证明你的结论。
思路分析：从特殊入手，探索常数a，b，c的值，考虑到了有3个未知数，先取n?1，n?2，n?3代入等式，得方程组，求出a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对于一切正整数n都成立。
解：把n?1，n?2，n?3代入等式得方程组
?a?b?c?24?a?3??4a?2b?c?44，解得??b?11。
?9a?3b?c?70?c?10??
猜想：等式1?22?2?32???n??n?1??
数n都成立。
下面用数学归纳法证明： 2n??n?1?12?3n2?11n?10?对于一切正整
证明：（1）当n?1时，原式左边=4，原式右边=4，原式左边=原式右边，所以等式成立；
（2）假设n?k?k?1,k??+?时，等式成立。即
1?22?2?32???k??k?1??2k??k?1?
12?3k2?11k?10?；
则当n?k?1时，
1?22?2?32???k??k?1???k?1???k?2?22
?k??k?1?
12
k??k?1?
12?3k2?11k?10???k?1???k?2?22??3k?5??k?2???k?1???k?2?
??k?1???k?2??k?12??3k?5??12?k?2???
2k?1???k?2???3?12??k?1??11?k?1??10? ?
这就是说，当n?k?1?k?1,k??+?时，命题也成立。
由归纳原理可知：1?22?2?32???n??n?1??
切正整数n都成立。
以上二例虽然都是应用数学归纳法来解决的，但是我们要明确一点，我们不能盲目的用，更不能乱用数学归纳法，我们一定要正确的应用数学归纳法，并且在应用数学归纳法的第二个步骤时特别注意“k”到“k?1”的推导过程，有些同学在证这个过程的时候不能很好入手，或是不能解决这一关键步骤，这就要求我们必须学会灵活应用这一关键的地方。
2n??n?1?12?3n2?11n?10?对于一
三、灵活的应用数学归纳法
例3用数学归纳法证明
111111 ?????????1?23?4(2n?1)?2nn?1n?2n?n
11证明：（1）当n?1时，原式左边=，原式右边=，原式左边=原式右边，所以22
等式成立；
（2）假设n?k时，等式成立，即
111111?????????. 1?23?4(2k?1)?2kk?1k?22k
那么n?k?1时
1111?????1?23?4(2k?1)?2k(2k?1)(2k?2)
?1111????? k?1k?22k(2k?1)(2k?2)
篇三：数学归纳法在中学数学中的应用毕业论文
毕 业 设 计（论文）
数学归纳法及其在中学数学中的应用
Mathematical Induction and the Application in Middle School
学 院：理学院
专 业：数学与应用数学
学 号：
姓 名：
指导教师：
二〇一二年六月
摘 要
数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学中的应用，要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。 关键词：归纳法； 数学归纳法； 中学数学； 证明
ABSTRACT
Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction to the correctness of the formulas of the inspection of the application of also has the very big. Mathematical induction into the limited is infinite bridge, mainly discusses the relevant proposition about natural number set or identities, Mathematical induction has wide application in middle school mathematics，such as ,the problem of division,the proof of identity,the proof of axiom,permutations and combinations,geometry.here we main combination junior middle school teaching material to a detailed list mathematical induction in the middle school mathematics application .To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - prove" this discovery to explore ways of thinking.
Key words: induction; mathematical induction; middle school mathematics; proof
目 录
绪论 ....................................................................................................................................... 1 0.1 问题的提出与课题意义 .......................................................................................... 1 0.1.1 问题的提出 ...................................................................................................... 1 0.1.2 课题的研究意义 .............................................................................................. 1 1. 数学归纳法概述............................................................................................................ 2
1.1 数学归纳法的相关概念 .......................................................................................... 2
1.1.1 归纳法和演绎法 .............................................................................................. 2
1.1.2 数学归纳法 ...................................................................................................... 3
1.1.3 数学归纳法与归纳法的关系 .......................................................................... 3
1.2 数学归纳法的基本原理及其其它形式 .................................................................. 4
1.2.1 数学归纳法的基本原理 .................................................................................. 4
1.2.2 数学归纳法的其它形式 .................................................................................. 5
1.3 数学归纳法的步骤 .................................................................................................. 8
1.3.1 数学归纳法的步骤 .......................................................................................... 8
1.3.2 三者缺一不可 .................................................................................................. 8 2. 数学归纳法在中学数学中的应用.............................................................................. 11
2.1 数学归纳法在中学数学中的具体应用 .................................................................. 11
2.1.1 运用数学归纳法解决整除问题 .................................................................... 11
2.1.2 运用数学归纳法证明恒等式 ........................................................................ 11
2.1.3 运用数学归纳法解决不等式问题 ................................................................ 13
2.1.4 数学归纳法在排列和组合中的应用 ............................................................ 15
2.1.5 运用数学归纳法解决几何领域问题 ............................................................ 15
2.2 毕业实习中的案例 ................................................................................................ 16
2.2.1 n?k到n?k?1时的变化 ............................................................................ 16
2.2.2 忽略n?k时的假设条件 ............................................................................... 17 总 结 ................................................................................................................................. 19 致 谢 ................................................................................................................................. 20 参考文献 ............................................................................................................................. 21
*****大学毕业论文（设计）绪论
绪论
0.1 问题的提出与课题意义
0.1.1 问题的提出
高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“k时命题成立，那么k?1时命题也成立”的证明方法。数学归纳法是一种重要且独特的证明方法,对与自然数n有关的命题证明是可行有效的，它使学生了解一种“化无限为有限”的辩证思维方法，而且它又不是那么直观易懂的，学生在学习数学归纳法的过程中，总会产生一个这样的疑问，在用数学归纳法证明表达式中，证明三步骤是不是真的完整呢，p(k)真仅是纯粹的假设,一旦不真,用它去推真，岂不是“无稽之谈”，
即使推出p(k?1)真能保证p(n)真吗？如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定
会影响他们的学习情感的。当然老师会说这是非常完整的,那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢。我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来，可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用，在用数学归纳法证明恒等式时，当然我们会知道这个恒等式肯定是正确的，那么它又是如何被前人计算出来的呢，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢。要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解。
0.1.2 课题的研究意义
数学归纳法学好了，学透了，对进一步学好高等数学有所帮助，甚至对认识数学的性质也会有所裨益[1]。数学归纳法应用比较广泛，可以说是关系到自然数的结论都可以用它来验证，弄懂数学归纳法的本质可以使学生更好地掌握数学归纳法，学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力，观察能力，数学化能力，逻辑思维能力和解决综合性问题的能力，另外，它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带，是初等数学中非常重要的一部分了。
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