微分中值定理的证明、推广以及应用

篇一：微分中值定理的证明及应用

微分中值定理的证明及应用

摘要： 文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。 关键词： 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 辅助函数

我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。

1. 微分中值定理的证明

1.1对Lagrange中值定理[1]的简单证明

分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的f(a)?f(b). 故此我们需要构造一个新的函数，不妨记为F(x)使它满足罗尔定理的全部条件，为此设 K?

f(b)?f(a)b?a

则 f(b)?f(a)?K(b?a) 即 f(b)?Kb?f(a)?Ka （1） 由（1）可构造新函数F(x)?f(x)?Kx, 有题设可知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且F(a)?F(b), 因此F(x)满足罗尔定理的全部条件。所以函数

F(x)?f(x)?Kx

, 即我们要构造的函数。

证明：构造辅助函数F(x)?f(x)?Kx, 其中K?

f(b)?f(a)b?a

根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道F(x)在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间（a,b）内是可导的，并且还有F(a)?F(b), 所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数F(x)在(a,b)内至少存在一点?, 使得 F?(?)?f?(?)?K?0 即f?(?)?

f(b)?f(a)

b?a

, 故证得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).

1.2 对Canchy中值定理[1]的简单证明

分析：若用Rolle定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足Rolle定理的条件，不妨设 K?

f(b)?f(a)g(b)?g(a)

, 可变形为

f(b)?Kg(b)?f(a)?Kg(a) （2） 由（2）可构造辅助函数L(x)?f(x)?Kg(x), 有题设可知L(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导且L(a)?L(b), 因而L(x)满足Rolle定理的条件，即L(x)?f(x)?Kg(x)为所要构造的函数。

证明：构造辅助函数L(x)?f(x)?Kg(x), 其中K?

f(b)?f(a)g(b)?g(a)

根据提舍得已知条件和连续函数的性质，我们可以知道函数L?x?在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间(a,b)内是可导的，而且还有L(a)?L(b), 所以我们根据Rolle定理就可以知道在(a,b)内一定存在一点?, 可以使得L?(?)?f?(?)?Kg?(?)?0 即 K?

f?(?)g?(?)

, 故证得

f?(x)g?(x)

?

f(b)?f(a)g(b)?g(a)

.

2 微分中值定理的应用

2.1 证明等式

例1 假设f(x)在闭区间[0,2?]上连续，在开区间(0,2?)内可导，并且f(0)?1,

分析：构造辅助函数，转化所证

f?(?)?f(?)cos??0?f?(x)?f(x)cosx?0 ?

f?(x)f(x)

积分

?cosx?0????lnf(x)?sinx?lnc

x

?f(x)esin?c. （c为常数）

检验相应条件

令F(x)?f(x)esinx, 则F(0)?1, F(2?)?2, F(?)?3. 可由介值定理在(0,?)内取数a, 使得F(a)?2. 然后在[a,2?]上使用Rolle定理

证明：构造函数F(x)?f(x)esinx. 则F(x)在[0,2?]上是连续的，在(0,2?)内是可导的，又F(0)?1, F(?)?3. 则可由介值定理得到，对于m?2必存在a?(0,?), 使得F(a)?m?2. 又因为F(2?)?2, 故可以在[a,2?]上应用Rolle定理，则必存在

??(a,2?)?(0,2?). 使得F?(?)?0. 即

f?(?)?f(?)cos??0.

例2 已知函数f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，并且f(0)=0, f(1)=0, 证： （i）存在???0,1?使得f(?)?1??

（ⅱ）存在两个不同的?1'?2??0,1?, 使得f?(?1)f?(?2)?1

分析：f(?)?1???y?f(x)与y?1?x在（0,1）内有交点?函数

F(x)?f(x)?x?1在（0,1）内有零点?

证明：（ⅰ）构造函数F(x)?f(x)?x?1 则F(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导,并且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,由零点定理得在（0,1）内存在一点?使得F(?)?0即

f(?)?1??

??，1?上分别连续，在?0,??, ??,1?内分别可导，则由（ⅱ）f(x)在?0,??、

Lagrange中值定理得存在?1??0,??、?2???,1?，分别使得 f?(?1)?

f(?)?f(0)

?f?(?1)?

f(?)

??0f(1)?f(?)1??

?

f?(?2)?又f????1??, 故

?f?(?2)?

1?f(?)1??

f?(?1)f?(?2)?

1??1??1???

??1. ?1??

即存在两个不同的?1、?2??0,1?, 使得f?(?1)f?(?2)?1. 2.2 证明不等式

例3 设f为[a,b]上二阶可导函数，f(a)=f(b)=0, 并存在c??a,b?使得f(c)>0,试证：至少存在一点???a,b?使得f??(?)<0

证明：因为在f[a,b]上二阶可导，则可知f在[a,c]、[c,b]上均二阶可导，由Lagrange中值定理得

存在???a,c?使得f?(?1)?

1存在???c,b?使得f?(?2)?

2而f?(x)在??1,?2???a,b?, 同样推得 f??(?)?

tanxx

f?(?2)?f?(?1)

f?c??f?a?c?af?b??f?c?b?c

>0 <0

?2??1

xsinx

<0

??

例4 证明不等式：

?

, x??0,

?

?

?. 2?

证明：构造函数f(x)?sinxtanx?x2, x??0,

?

?

??

?2?

则知f(0)?0并且

f?(x)?sinx?sinxsecx?2x, f?(0)?0

?2

f??(x)?cosx?secx?2sinxsecxtanx?0, x??0,

?

??

?

2?

故f?(x)在?

?0,

?

????

上严格递增，即对任意的x??0,?2??2

?

?有f?(x)?f?(0)?0?

, 从而f(x)

?????2

在?上严格递增，即对任意的x??0,?, 都有f(x)?sinxtanx?x?f(0)?0. 0,???

2?

?

2?

从而有

tanxx

?

xsinx

, x??0,

?

?

??

?.

2?

2.3 求极限问题

例5 设f(x)在???,???内可导，且

?x?c?

limf?(x)?e, lim???lim?f(x)?f(x?1)? x??x??x?cx??

??

x

求常数c

?x?1?

?x?c????lim?解： lim

x??x?cx??

?1???

??

c??

??e2c

c??x?

x

lim?f(x)?f(x?1)??limf?(?)?e, 其中x?1???x

x??

x??

即e2x?e, 从而c?

12

.

2.4 探讨方程根的存在性

例6 设函数f(x)在区间?a,???上连续，并且x数，又f(a)<0, 试证方程f(x)=0在区间?a,a?

????

?a

时f?(x)?m?0, 其中m为常

f?a??

?内有唯一的实根。 m?

f?a??

上可应用?m?

证明：由题设可知对函数f(x)在?a,a?则

Lagrange中值定理，

篇二：微分中值定理的证明及其应用

微分中值定理的证明及其应用

牛锦波

（数学与计算科学系09专升本班）

指导教师：李超

摘要：微分中值定理在数学分析中具有重要作用，通过它我们可以研究函数的性态。本文主要探讨了微分中值定理及其详尽证明，并揭示了三种中值定理之间的关系以及微分中值定理的求解方法与应用。通过本文的讨论，旨在深刻分析三种中值定理之间的关联以及它们在相关命题中的重要应用。

关键字：微分中值定理、证明、关系、方法、应用

The mid-value theorems of proof and its application

NiuJinBo

（Department of Mathematics and Computer Science Top-09 classes)

Instructor: Li Chao

Abstract:：This paper describes the differential mean value theorem and give detailed proof, then revealed the three relationships between the mean value theorem and the Mean Value Theorem and its solution method in solving problems in the application. Keywords: differential mean value theorem, proof, relation, method, application

1.绪论

在数学分析中，微分中值定理扮演了极其重要的角色。在近几年的数学类硕士研究生考试中，有关微分中值定理的命题也屡见不鲜。因而探究这类问题不仅能使我们对微分中值定理理论有进一步的理解与认识，而且对于我们的解题来说也极有必要。

微分中值定理主要包括：Rolle定理、lagrange定理和cauchy定理。它们是微分学的三个基本定理，也是微分学理论的基础。通过微分中值定理，我们可以研究出函数的性态（单调性，凹凸性等）。这三个定理的共同点是：在一定条件下，可以肯定它们在所给开区间内至少存在某一点，使得所研究的函数在该点具有一定的微分性质。

本文将从四个方面研究微分中值定理。首先将论述并证明这三个中值定理；接着将指出了它们之间的内在联系；进而将继续探讨微分中值定理的求解方法；最后将给出微分中值定理在几个相关命题中的应用。全文大体分为着四个部分，旨在对微分中值定理能有一个更为深刻的探究。

2.微分中值定理的证明

2、1 rolle中值定理的证明

rolle中值定理：若函数f(x)满足下列三个条件：（1）f(x)在闭区间[a、b]上连续；（2）f(x)在开区间（a、b）内可导；（3）f(a)=f(b)，则在开区间（a、b）内至少有一点?，使f?(?)?0 (a<?<b)。

证明：因为函数y?f(x)在闭区间[a、b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，它在[a、b]上必有最小值m和最大值M。

如果m=M，则函数y?f(x)是[a、b]上的一个常量函数，从而在（a、b）内导数f?(x)?0，这时开区间（a、b）内任意一点都可以作为定理结论中的点?。 如果m?M，即m?M，由于f(a)?f(b)，因此在开区间（a、b）内至少存在一点? (a???b)，使f(?)?m或f(?)?M，下面来证明f?(?)?0。 设f(?)?m (a???b)，因为m是函数y?f(x)在[a、b]的最小值，因此对[a、b]上的任意一点???x，有f(???x)?f()?m?

由于当?x?0时，f(???x)?f(?)

?x?0，即f(???x)?f()?0?

而函数y?f(x)在点?可导，所以

f?(?)?f??(?)?lim??x?0f(???x)?f(?)?x?0（1）

类似的，当?x?0时，f(???x)?f(?)

从而有f?(?)?f??(?)?lim?0?xf(???x)?f(?)?x ?0（2）

?x?0?

有（1）（2）两式即知，只有f?(?)?0

f(?)?M的情形可以类似地证明。

2.2 lagrange中值定理的证明

lagrange中值定理：若函数f(x) 满足下列两个条件：（1）f(x)在闭区间[a、b]上连续；（2）f(x)在开区间（a、b）内可导，则在（a、b）内至少有一点?，使f?(?)?f(b)?f(a)

b?a (a???b) f(b)?f(a)

b?a(x?a) 证明：作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?

其中a?x?b，由于已知f(x)在[a、b]上连续，在（a、b）内可导，所以函

数?(x)也在[a、b]上连续，在（a、b）内可导，并且?(a)??(b)?0， 于是，?(x)满足rolle定理的所有条件，从而在区间（a、b）内至少有一点?，使??(?)?0

由于：??(x)?f?(x)?

所以 f(b)?f(a)b?af(b)?f(a)f?(?)??0b?a

f(b)?f(a)

b?a(a?x?b) 取证得f?(?)?

若令（1）式中的??a

b?a(a???b)（1） ??，则??a??(b?a)，且?????

（1）式可写成f(b)?f(a)?f?[a??(b?a)](b?a)???????（2）

（1）、（2）式称为lagrange中值公式。

2.3 cauchy中值定理的证明

cauchy中值定理：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：（1）f(x)和g(x)在闭区间[a、b]上都连续；（2）f(x)和g(x)在开区间（a、b）内都可导；（3）g?(x)?0 (a?x?b)则在开区间（a、b）内至少有一点?，使f(b)?f(a)

g(b)?g(a)?f?(?)

g?(?) (a???b)

证明：先用反证法证明g(a)?g(b)

如果g(a)?g(b)，则根据g(x)在[a、b]上连续，在（a、b）内可导的已知条件，由rolle定理可知，在（a、b）内有一点x0，使g?(x0)?0，这与已知条件（3）矛盾，所以g(a)?g(b)，

因为g(a)?g(b)，所以可作辅助函数

?(x)?f(x)?f(b)?f(a)

g(b)?g(a)[g(x)?g(a)](a?x?b)

有已知条件（1）、（2）可知，?(x)在[a、b]上连续，在（a、b）内可导，并且?(a)??(b)?f(a)

所以，由rolle定理可知，在（a、b）内至少有一点?，使??(?)0? (a???b) 由于 ??(x)?f?(x)?

所以， f(b)?f(a)g?(x)(a?x?b) b?af(b)?f(a)f?(?)?g?(?)?0(a???b) b?a

即证得f(b)?f(a)

g(b)?g(a)?f?(?)

g?(?)(a???b)

3.三个重要定理之间的关系

Cauchy定理是lagrange定理的推广，lagrange定理是cauchy定理中g(x)?x的特殊情况，三个中值定理之间的关系可由下表看出：

4.微分中值定理的求解方法

4.1 直接应用微分中值定理

例1：设f(x)在[a、b]上连续，在（a、b）内除仅有的一个点外都可导，求证：

，使得：f(b)?f(a)?(b?a)f?(c)? c?（a、b）

证明：设函数f(x)在点d?(a,b)处不可导，分别在(a,d)上和(d,b)上对f(x)用微分中值定理，我们得：

f(d)?f(a)?(d?a)f?(c1)和f(b)?f(d)?(b?d)f?(c2)

其中，c1?(a,b)和c2?(d,b)。将以上两个等式相加，我们得：

f(b)?f(a)?(d?a)f?(c1)?(b?d)f?(c2)

由此我们得到 f(b)?f(a)?(d?a)f?(c1)?(b?d)f?(c2) ?(d?a)f?(c)?(b?d)f?(c)?(b?a)f?(c)

其中，f?(c)?max?f?(c1),f?(c2)?;

??c1,f?(c1)?f?(c2) c????c2,f?(c1)?f?(c2)

例2、设f?(x)在点x?a处得有极限存在且有限。求证：f(x)在点x?a的有极限也存在且有限。

证明：因为limf?(x)存在且有限，所以存在??0，使得f?(x)在(a,a??1)x?a?0

内有界，设f?(x)?M (?x?(a,a??1))，则对任意给定的??0，取

??min????,?1?，根据

?M?lagrange中值定理，对

?x1,x2?(a,a??),???(min?x1,x2?,max?x1,x2?), 使得f(x2)?f(x1)

x2?x1?f?(?)?M

?f(x2)?f(x1)?Mx2?x1??

故由Cauchy收敛原理知limf(x)存在且有限。

x?a?0

4、2 用辅助区间法

例1、 设f(x)在[o,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)?f(1)?0,f()?1， 21求证：???(0,1)，使得f?(?)?1。

证明：令F(x)?f(x)?x，则

1111?F()?f()???0?1????(,1), 2222?2F(1)?f(1)?1??1?0??

使得F(?)?0,即f(?)??。

因为f(x)在[0,?]上连续，在(0,?)内可导，所以在[0,1]上用lagrange中值定理，则???(0,?)，使得f?(?)?f(?)?f(0)???0

??0??0?1

例2、 设f(x)在[o,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)?f(1)?0,

篇三：微分中值定理的证明、推广以及应用

微分中值定理的证明、推广以及应用

【摘要】 微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位，微

分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，以及柯

西中值定理。本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，

能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日

中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几

何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造

行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加

以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值

定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个

定理的理解。

【关键词】 罗尔定理 拉格朗日中值定理 证明 推广 应用

1引言

在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定

理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定理之一.它不仅

沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性

态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉

格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定

理由区间 推广到了区间 (a,b),由推广到了区间（-∞，+

∞） ，由f（a）=f（b） 推广到(有限或±∞).而将拉格朗

日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.

2罗尔定理

若函数f满足如下条件：

f在闭区间［a，b］上连续,

f在开区间（a，b）内可导,

f（a）=f（b）

则在（a，b）内至少存在一点c,使得f、（c）=0.

2.1罗尔定理的推广

定理1：设(a,b)为有限或无穷区间f(x)在(a,b)内可微且（有

限或 ）±∞,

则c∈ ,使得f、（c）= 0.

证明：先证a为有限数的情形,若使f（x）=a ,则f、（x）=0,

所证显然成立.

若f（x）=a不成立,则存在x0∈（a，b）,使得f（x0）≠

a,

设f(x0) ＞a （对f(x0) ＜a 同理可证）,

由于=a,

因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 μ(a＜μ＜

f(x) ）,

x1∈(a,x0 ),x2 (x0 ,b),

使得f（x1）=f（x2）=μ,

在闭区间［x1,x2 ］上用罗尔定理,

可得使得f、（c）0,

再证a+∞,的情形（a=-∞, 的情形,同理可证）.

由于=+∞,

取定x0∈(a,b)及μ＞f(x0) ,

则由于f(x)在(a,b)内连续,故x1∈(a,x0),x2(x

0,b),使得f(x1)=f(x2)=μ,

在闭区间［x1,x2］上用罗尔定理,可得使得f、（c）=0.

2.2定理1的5条推论

推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=a≠∞,则在区间(a，

b)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.

推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞,则在区间(a，b)

内至少存在一点c,使得 f、（c） 0.

若=-∞,结论同样成立.

推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==a,则在(-∞，+∞)至

少存在一点 ,使得f、（c） 0.

推论4: 设f（x）在（-∞，+∞）可导, 且+∞，=+∞ ,则在区间

(-∞，+∞)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.

若=-∞，=-∞ ,结论同样成立.

推论5：设f（x）在（a，+∞）可导, 且==a ,则在(a，+∞）

至少存在一点c,使得f、（c） 0.

3拉格朗日中值定理

若函数f 满足如下条件：

f(x)在［a，b］连续

f(x)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c,使f、（c）=f（b）-f（a）b-a

3.1拉格朗日中值定理几何证明方法

多数教材都是通过构造辅助函数f(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明

拉格朗日中值定理的,故f(x)表示曲线y=f(x)与直线ab（y +

(x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使f(x)满足罗尔中值定理的

要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函

数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义

上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在a,b值相等,

在m点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.

已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一

点,使f、（）=f（b）-f（a）b-a.

已知光滑曲线 t：

证明：引理：在平面直角坐标系中,已知a 、b 、c三个顶点的坐

标a(f（a），g（a））,b(f（b），g（b）)，c(f（c），g（c）)

则abc得面积为

易知：s(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成

三角形的面积,

又因为s(x)在［a，b］上连续,且在（a，b） 可导,有s(a)=s(b)=0,

则由罗尔中值定理,存在一点∈(a,b)使得s、（）=0

令g（x）=x，即

3.2拉格朗日中值定理推广定理1

如果函数f（x）满足：

(1)在区间［a，+∞］连续,

(2)在区间（a，a，+∞）可导,

(3)=m

那么在(a，+∞) 内至少存在一点c (a＜c＜+∞),

使得f、（c）=［m-f（a） ］/（c-a+1）2.

证明：令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=φ(t)

3.3拉格朗日中值定理推广定理2

如果函数f(x)满足：

(1)在区间(-∞，+∞)连续,

(2)在区间(-∞，+∞)可导,

3.4拉格朗日中值定理推广定理3

设函数f在闭区间［a,b］上连续,

若函数在(a,b)内除了有限个点外可微,

则存在c∈(a,b),使得 ｜f(b)-f(a)｜≤｜f、(c)｜（b-a）.

证明：不妨设f仅在d∈（a，b）不可微,分别在区间 ［a,d］

与［d,b］上应用拉格朗日中值定理,则得到

3.5拉格朗日中值定理推广定理4

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