篇一：16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第三章 三角函数、解三角形
第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念
?按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(1)分类?
按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝180°＝②弧长公式：11
l＝；③扇形面积公式：S扇形＝2lr和2α|r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y
cos α＝tan α＝xx≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．利用180°＝π rad进行互化时，易出现度量单位的混用．
3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，yyxytan α＝xr，则sin α＝r，cos α＝rtan α＝x.
[试一试]
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( ) A．第一或第三象限C．第二或第四象限 答案：A
2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________. 1答案：－2
1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；
2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．
[练一练]
若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．
1.给出下列四个命题：
3π4π①－4是第二象限角；②3③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 C．3个
B．2个
D．4个
3π4ππ4π
解析：选C －43π＋3，从而3角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．设集合
???k
?180°＋45°，k∈Z?M＝x?x＝2·???
，
)
???k
?180°＋45°，k∈ZN＝x?x＝4·???
??
?，那么( ??
A．M＝NC．N?M
B．M?N D．M∩N＝?
解析：选B 法一：由于135°，225°，…}，
???k?180°＋45°，k∈Z?M＝x?x＝2·???
＝{…，－45°，45°，
???k
180°＋45°，k∈ZN＝?x?x＝4·???
??
?＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，??
225°，…}，显然有M?N，故选B.
k
法二：由于M中，x＝2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；k而N中，x＝4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N，故选B.
3．终边在直线y＝3x上的角的集合为________．
π
解析：终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋3，k∈Z}． π
答案：{α|α＝kπ＋3，k∈Z}
4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
76545得－765°≤k×360°<－45°，解得－360k<－360， 从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315° [类题通法]
1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
2π?2π
sincos [典例] (1)已知角α的终边上一点P的坐标为?3，则角α的最3??小正值为( )
5π
A.6 5πC.3
2πB.311πD.6
(2)(2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x5)，且cos απ2?
＝4，则sin?α＋2＝________.
??
2π
[解析] (1)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 33π11π＝2α＝2kπ－6k∈Z)，所以α的最小正值为6.
x2
(2)由题意得cos α＝，解得x＝0或x＝3或x＝－3.
5＋x4又α是第二象限角，∴x＝－3.
π66?α＋?即cos α＝－4sin2?＝cos α＝－4?6
[答案] (1)D (2)－4 [类题通法]
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
[针对训练]
3
已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α的值． 解：设α终边上任一点为P(k，－3k)， 则r＝k＋?－3k?＝10|k|. 当k>0时，r＝10k， ∴sin α＝
－3k3110 k
＝－，cos αk10， 10k10
3
∴10sin α＋cos α310＋310＝0； 当k<0时，r＝－10k， －3k3
∴sin α＝＝，
－10k1010k1＝cos αk10，
篇二：2016年高考数学(理)复习一轮作业手册：第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
课时作业(十六) [第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数]
(时间：30分钟 分值：80分)
基础热身
1．[2014·河南新乡、许昌、平顶山三市三模] 若角θ同时满足sin θ<0，且tan θ<0，则角θ的终边一定落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，3] B．(－2，3)
C．[－2，3) D．[－2，3]
3．若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
5．[2014·辽源模拟] 若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
能力提升
θ6．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在( ) 2
A．第二或第四象限
B．第一或第三象限
C．第二象限或第四象限或x轴上
D．第一象限或第四象限或x轴上
7．如果θ是第一象限角，那么恒有( )
θθA． B．tan22
θθθθC．sincos D．sincos 2222
8．已知角α的终边过点P(－a，－3a)，a≠0，则sin α＝( )
3 10103 A. B101010C.10103 103 10或－ D.10101010
2π2π，cos )，则角α的最小339．[2014·大庆模拟] 已知角α的终边上一点的坐标为(sin
正角是( )
11π12πA. B 67
2ππC. D. 33
10．已知角α的终边与函数y＝－511≤0)的图像重合，则cos α＋＝12tan αsin α________．
11．如图K16-1所示，已知扇形AOB的圆心角∠AOB为120°，半径长为6，则阴影部分的面积
________________________________________________________________________．
是
图K16-1
12．(13分)如图K16-2所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限．C是圆与x
34轴正半轴的交点，A点的坐标为()，△AOB为正三角形． 55
(1)求sin∠COA；
(2)求cos∠
COB.
图K16-2
难点突破
13．(12分)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A(－1，3)．
(1)若OA⊥OB，求tan α的值；
4(2)若B点的横坐标为，求S△AOB. 5
篇三：16课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数
课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、考点梳理：
??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
1．角的概念(1)分类?
?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式
(1)1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝180°＝弧度；②弧长公式：l＝S扇
形
11
α|r2. 22
3．任意角的三角函数
y
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝，cos α＝tan α＝x≠0)．
x(2)设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，设r?二、基础自测：
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限， C．第二或第四象限 2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1 C．4
D．8
D．第三或第四象限
x2?y2，in??则s
yxy
,cos??,tan??(x?0) rrx
3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 4．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 三、考点突破：
考点一、角的集合表示及象限角的判定 【例1】 1.给出下列四个命题：①－
3π4π
是第二象限角；②400°是第四象限角；④－315°43
是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个
?
?
D．4个
??kk??
x＝180°＋45°，k∈Z?，N＝?x?x＝·180°＋45°，k∈Z?，那么( ) 2．设集合M＝?x??2?4
?
?
A．M＝N B．M?N C．N?M 3．终边在直线y3x上的角的集合为________ 考点二、三角函数的定义
D．M∩N＝?
2π2π
sincos?，则角α的最小正值为( ) 【例2】 (1)已知角α的终边上一点P的坐标为?3??3
5π2π5π
A.B.633
11π
D. 6
π2
α＋?＝________. x，则sin??2?4
(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cos α＝
规律：用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
考点三、扇形的弧长及面积公式
【例3】[典例]已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
弧度制应用的关注点
1nπrnπr2
(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝S，此时n为角度，它
2180360们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． 四、当堂检测
1．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．
2.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3)
D．[－2,3]
3
3.已知角α的终边在直线y＝－x上，求6sin α＋
cos α
4. 已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.
五、课后巩固：
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.π3 π6C．－π3 D．－π62．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角 3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π
3
，则sin α＝( )
A．－
3 3C．－1 D.1
222
2
4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π
3
弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A.??－1232?? B.??－3212??C.??－123312?? D.??－22
sin7π
cos π5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④10
，其中符号为负的是( tan
17π9
A．① B．② C．③ D．④
6．在直角坐标系中，O是原点，A，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．7.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为4
5，则cos α＝________.
8．设角α是第三象限角，且??sinα2＝－sinα2，则角α
2
是第________象限角． 9．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，圆心角的弧度数 10．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈?π?2，π?
?，求α的三角函数值
11．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求αααα
2(3)试判断tan2sin22
的符号．
)
2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟备课日期：
2015/8/22
课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、考点梳理： 1．角的概念
??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(1)分类?
?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式
(1)1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝180°＝弧度；②弧长公式：l＝S扇
形
11
α|r2. 22
3．任意角的三角函数
y
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝，cos α＝tan α＝x≠0)．
x(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
二、基础自测：
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限， C．第二或第四象限 答案：A
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1 C．4
D．8
D．第三或第四象限
l＋2r＝6，?????l＝4?l＝2，
?解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得?1解得或?故扇形的圆心角的??r＝1r＝2.＝2，????2
弧度数是4或1.
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3)
D．[－2,3]
??3a－9≤0，
解：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴?∴－2<a≤3.故选A.
?a＋2>0，?
4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
675π5π5π
解析：2 010°＝π＝12π－2 010°66665．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故此三角形为钝角三
2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟备课日期：2015/8/22
角形．答案：钝角三角形
π?
6．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈??2，π?，求α的三角函数值．
π?434
π，∴－1<cos θ<0，∴r9cosθ＋16cosθ＝－5cos θ，故sin α＝－，cos α，tan α解：∵θ∈??2?553三、考点突破：
考点一、角的集合表示及象限角的判定 【例1】 1.给出下列四个命题：①－
3π4π
是第二象限角；②400°是第四象限角；④－315°43
是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
3π4ππ4π
解析：选C －＝π＋从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，
4333从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
???kk???????，那么( ) x＝180°＋45°，k∈Zx＝·180°＋45°，k∈Z2．设集合M＝x?2，N＝x?4????
A．M＝N B．M?N C．N?M
?
D．M∩N＝?
?
k??
x＝180°＋45°，k∈Z?＝{…，－45°解析：选B 法一：由于M＝?x?，45°，135°，225°，…}，N＝?2
???k
?xx＝·180°＋45°，k∈Z?＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M?N，故选B. 4???
kk法二：由于M中，x180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝180°＋45°＝k·45°
24＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N，故选B. 3．终边在直线yx上的角的集合为________．
ππ
解析：终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋k∈Z}．答案：{α|α＝kπ＋，k∈Z}
334．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 76545
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
360360答案：－675°或－315° 考点二、三角函数的定义
2π2π
sincos?，则角α的最小正值为( ) 【例2】 (1)已知角α的终边上一点P的坐标为?3??3
5π2π5π
A.B.633
11π
D. 6
π2
α＋?＝________. x，则sin??2?4
2π3π
＝α＝2kπ－(k∈Z)，所以α326
(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cos α＝
[解析] (1)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin
《第16讲,任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt-2016届》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/41988.html
转载请保留,谢谢!