篇一：整式乘除与因式分解复习讲义
整式乘除与因式分解讲义
一、知识要点： 1.乘方公式：
① ?am?n②?am???an??③?ab???am?n⑤a0?a?0)
n
m
n
2.单项式与单项式相乘的法则：。 3. 乘法公式：
①单?多：m(a?b?c)?反过来am?bm?cm? 提公因式
计算22
化③平方差：(a?b)(a?b)? 反过来：a?b?简
②多?多：(x?p)(x?q)= 反过来x2?(p?q)x?pq? 十字相乘
因式分解
④完全平方：(a?b)2=反过来：a2?2ab?b2=(a?b)2a2?2ab?b24.把一个多项式化为的形式，这样的变形叫因式分解（或分解因式）。 5.因为(?x)2?x2所以(m?n)2?(n?m)2；因为(?x)3??x3所以(m?n)3?； 6. 单项式?单项式的法则： 。 7. 多项式?单项式公式：(am?bm?cm)?m? 。 二、重点题型巩固练习：
1．幂的运算 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am?an?am?n（m、n为正整数）
2522
1）计算 ①a?a5②(-1)(-1)=③-a(-a)=
1?④?
???
?
?1??1?????????3??3??3?
m
436
⑤?x?y???y?x???y?x??
2
3
2
（2）若5?2,5
n
?3,求5
m?n?3
= .。若2n?2?64，则n= .②?3???3?2010???3?2?5
（3）用简便方法计算①??4?2???4?10（4）?m-n??4,
2
4?
（5）a?a
?
?m?n?3??8，则?m?n?? 。
?
?
?a??
3
????a?5???a??
?a
12
n
(2)幂的乘方:幂的乘方，底数不变，指数相乘。?am??amn（m、n为正整数） 1）计算①?102??②??x5???an?2??④ ?x?y?
3
2
3
?
34
?
?（2）若a
2n?1
?5,求a
6n?3
的值。（3）已知n为正整数，且x
2n
?3,求9x
??
3n
2
的值。
3
（4）计算① ???2???
??????3????
2
②2?x3??x4?x4??x5?x7=
4
2
（5）如果2?8n?16n?2222，求n的值。（6）已知3m?6，9n?2，求32m?4n?1的值。
(3)积的乘方:积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
?ab?n
nn
?ab（n为正整数）
12?1）计算① ?
?ab?
?2
?
4
?1?
? ② ??2ab??③ ??
3
2009
?2?
?2
2009
?
2008
2009
④0.125
20
?4
20
?2
20
??6x
?
2
?
2
???3x?
3
2??
?x⑥?0.5?3?
3??3??
???2??
11??
?（2）若?anbmb??a9b15,求2m?n的值。
3
（3）比较375与2100的大小（4）已知P=??ab3?,那么?P2=（5）33??
2???
2
6?15
(4)同底数幂的除法:同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（m、n为正整数，m>n，a?0） 1）计算①??x????x?②?xy???xy???a10?a6?8
3
4
2
③?a?b???a?b???a?b?④a3???a4???a2???a3??8
4??
333
（2）已知am?6,an?5,ap?2,则am?n?p?3x?5,3y?2,求32x?3y 。 （3）计算（1）27m?9m?3??x?2y?
a
b
c
?
33
????2y?x??
24
?（4）已知2a-3b-4c=4,求4?8?16?4的值。
2.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例题：（1）计算①??2xy练习：（1）?
2
??3xy????5xy?
22
3
?x?y?③2?10
4
3
n
?
2
???15?10??6
??2a
?4ab
??2x?2??
2
??
2
?12xy
3
13?（2）先化简，在求值???ab???2abc
?2?
?
3
?1??1?
??a????bc?，其中a=-1,b=1,c=-1 ?2??8?
如果单项式?3x2a?by2与1
3x
3a?b
y
5a?8b
是同类项，那么这两个单项式的积为。
（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 1）计算①2xy?x?xy?y
2
2
? ②a
3
?2a?3a?4b?5c?
（2）已知3a??2a?5??2a?1?3a??26，则a= 。
（4）已知??2x???3x2?ax?6??3x3?x2中不含有x的三次项，试确定a的值。
2
（5）当，x??
16
求代数式xx?6x?8?xx?8x?10?2x?3?x?的值。
2
2
????
（7）解方程：2x?x?1??x?2x?5??12
（8）解不等式：2x(x?1)?x(3x?2)?2x2?x2?1
（3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b）(m+n)=am+bm+an+bn
1）计算 ①（2x-3y）(4x+5y)= ②2(2a-5)(3a2?2a?1)= （2）化简?a?4??a?3???a?1??a?3?，并计算当a?
13
时的值。
（3）如果a2?a?1，那么（a-5）。
（4）如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，则q的值为 。 （5）若使x?x2?a??3x?2b?x3?5x?4恒成立，则 （6）已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。 3.乘法公式(1)平方差公式：
两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。?a?b??a?b?
?a2?b2
1）计算①(4x+5y)(4x-5y)②(-4x-5y)(-4x+5y) ③(m+n+p)(m+n-p) ④ m+n-p)(m-n+p)⑤?a2?b2??a2?b2? ⑥?a?b??a?b??a2?b2??a4?b4?
23
13
（2）用简便方法计算①103×97 ②14?15③
2008
2
2007?2009?1
④ 112×108
（3）计算① ?1?
?
?
1??1??1?1??1??
1?1????1?1?????????? 22222
2??3??4?9??10??
y
x
（4）已知x?y?12，x+y=6,求x?y的值。
(2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
22
?a?b?2?a?2ab?b ?a?b??a?2ab?b
2
2
2
2
2
2
2
2
1）计算① ?3x?2y? ②??3a?2b? ③?a?b?c? ④??a?b??a?b? （2）用简便方法计算①299 ②101 （3）填空①?a?b???a?b??
2
2
22
??② ?a?b?2
2
??a?b??
2??
③ a?
2
1a
2
1??
??a???
a??
2
?
1??
???a???
a??
??
112214 ?1）?n?mn?_______??mn?________?
949?3?
2
（2）如果4x2?kx?25是一个完全平方式，那么。 （3）已知a2?b2?13,ab?6，则?a?b?? _______,
2
2
2
?a?b?2
?_________
。
（4）已知?a?b??7,?a?b??4，则a2?b2?________,ab?_________. （5）已知x?
1x
?3,则x?
2
1x
2
?___________.
2
（6）已知a,b,c为△ABC的三边，试确定?a2?b2?c2??4a2b2的符号。
4．整式的除法（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
?5
1）计算①?axy???axy
?6
2
4
3
2
?45
? ②?32abc?16ab?
??
2
?332????ab? ?8?
2
③?2?103???2?103? ④??a?b???a?b?
2
5
2
（2）化简x18???x3?
?
23
?
?x
2
??x?3
??x
?
2
?
2
（3）已知有四个单项式：?2x2y,2x3y2,?
4xy2,3xy，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为x2，请你写出算式。
（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 1）计算①?8x2y?4x4y3????6x2y? ②?a2?2ab?b2???a?b?
③?x?y???x?y?
2
?
2
??2xy
?
3
3
2
2
（2）化简求值?x?y???x?y??x?y??2x，其中x=3,y=1.5。
2
?
（3）若多项式M与?
xy2
的乘积为?4xy?3xy?
2
xy2
，则M为
（4）长方形的面积为4x?6xy?2x，若它的一条边为2x，则它的周长是。 （5）已知多项式3x?ax?bx?1能被x?1整除，且商式为3x+1，求??a?的值。
3
2
2
b
5．因式分解()
① am+bm-1=m(a+b)-1 ②x2?5x?4?x?x?5?
??
4?
?x?
2
2
③?x?4??x?4??x?16 ④a＋2ab＋b
22
＝(a+b)⑤x2?x?6??x?2??x?3?
（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。 3xy,2xy,?5xyz的公因式。
2
3
2
3
2
（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
1）用提取公因式法分解因式
①?4a3?16a2?26②?x?m?x??y?m?x?③?m2(a2?b2)?mn(a2?b2)?mp(a2?b2) （2）用简便方法计算① 999（3）如果3x2?mxy
2
2
?999 ②13.7×9＋13.7×11－1.37×20 ③??2?
2
2009
???2?
2010
?3xx?4y13
??，那么m的值为x
32
xyz?3xyz?
2
2
n?2
?3x
n?1
（4）当x?2y?3z??,xyz?2，求
92
xyz
2
的值。
（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。
1）用平方差公式分解因式①
49
a?0.01b② ?x?y??9y
2
2
2
2
（2）用简便方法计算① 535
2
?465 ② 9.9×10.1 ③
2
1000252
2
2
2
?248
2
（1）分解因式① ?x?a???x?b? ② 16?x?y??9?x?y?
2
2
2
1）用完全平方公式分解因式① x?x?（2）用简便方法计算：① 202
2
2
14
②?x2?4x??8?x2?4x??16
2
2
?98?202?196 ②99?101?
10001
1）分解因式① x2?y2?6x?9 ②?x2?4y2??16x2y2
2
（2）已知a,b,c是△ABC的三条边，①判断?a?c??b2的值的正负。②若a,b,c满足
2
a?c?2b?b?a?c??0，判断△ABC的形状。
2
2
（5）十字相乘法：x?(a?b)x?ab=(x?a)(x?b)（a、b是常数）
a1a2x??a1c2?a2c1??c1c2??a1x?c1??a2?c2?
2
2
6x?x?2 ②5x?6xy?8y ③2?a?b??7?a?b??3
2
222
整式乘除复习题
练习一：同底数幂的乘法
1、a?a=___ ； 2、10?10?10=___ ；3、??m????m?=___；
2
3
2
6
5
4、a
2n
?a
n?1
5、8?2?26、?x?y???y?x???x?y?=___ _
3
5
5
2
篇二：整式的乘除与因式分解全章复习与巩固
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固
要点一、幂的运算
1. 同底数幂的乘法：加.
2. 幂的乘方：3. 积的乘方：4 .同底数幂的除法：
(
为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. (
为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相
(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
(≠0,
为正整数，并且
).
同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5. 零指数幂：
即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 要点二、整式的乘法和除法
1. 单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2. 单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
(
都是单项式).
3. 多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
.
4. 单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 要点三、乘法公式
1. 平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：
；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍 要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：
落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次 类型一、幂的运算
1、计算下列各题：（1） （3）
（2） （4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.【答案与解析】解：（1
） （2
）
（3）
（
4
）
．
．
．
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别
【变式】当【答案】
，＝4时，求代数式的值．
解：
类型二、整式的乘除法运算
2、解下列不等式．
（1） （2）
【答案与解析】
3、已知
，
解：（1）
（2）
． ， ．
，
，
【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解求的值．
【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到
的值即可代入求值．
【答案与解析】解：由已知 即
解得 所以
，，
，，
．
．
的值
，得，
，
【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到类型三、乘法公式
4、对任意整数，整式
是否是10的倍数？为什么？
【变式】解下列方程(组
)：
【答案】
解：原方程组化简得 5、已知
，
，解得
，求： (1)
；(2)
的关系.
【思路点拨】在公式 【答案与解析】解：（1
）
∵ ∴ （2）
，
，
中能找到
篇三：整式乘除与因式分解复习经典题
整式乘除与因式分解复习经典题
例1．（在下列运算中，计算正确的是（ ）
235326(a)?aa?a?a（A） （B）
（C）a?a?a （D）(ab)?ab 例2.(1)下列各式中为完全平方式的是（）
A．x2＋2xy＋4y2B．x2-2xy-y2
8242224C．-9x2＋6xy-y2 D．x2＋4x＋162.
(2)下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ）
A. (a?b)(b?a) B. (?x?1)(x?1)
(?x?1)(x?1)
3m?2nmnC. (?a?b)(?a?b)D. 例3.(1)已知10?2，10?3，则10
43x? (2) 若64?8?2，则x=
(3)若n为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为
(4)如果(a nb·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn的值是
(5)已知x?y??5，xy?3，则x?y?(22)
（A）25 （B）?25 （C）19 （D）?19
22x?y?4,x?y?6则xy?___。 (6)若
222x?____?9y?(x?_____) (7)
(8)若9x2?mxy?16y是一个完全平方式，那么m2
的值是__________。
121x?x??52(9)(选做)已知，那么xx
例4：（1）(－2a)2(－3a2)3
(－a2b)3（3）(-b) 5÷(-b)2 例5.计算：
（?2m?n) （1）(2x?y)(x?y)（2）
（3）(?m＋2n)(?m?2n)．
（4） ?x?3???x?1??x?2?
22(x?y)?12(x?y)z?36z（5）
22（6） (a?2b?c)(a?2b?c)?(a?2b?c)
22例6. 分解因式： （1）xy
（2）a2?9x?． 23b-2ab+b=__________
22x?y?x?y?(x?y)?A， (3)
则A=_____________________ 124m?2mn?n?(4)________________。 42
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