篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考答案
第三章 线性方程组
1． 用消元法解下列线性方程组： ?x1?x?1?1)?x1
?x?1??x1
?3x2?5x3?4x4?1?3x2?2x3?2x4??2x2?x3?x4?x5?4x2?x3?x4?x5?2x2?x3?x4?x5
?x1?2x2?3x4?2x5?1
x5??1?
?x1?x2?3x3?x4?3x5?2
?3 2)?
2x?3x?4x?5x?2x?72345?1
?3
?9x?9x?6x?16x?2x?25
2345?1
??1
x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44
??
x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?34
3)?4)?
4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?1
??7x?3x?x??3?7x?2x?x?3x??0
234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?
3x1?2x2?x3?x4?1????3x1?2x2?2x3?3x4?2
5)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?1
?2x?2x?2x?x?1?5x1?x2?x3?2x4??1
234
?1?2x?x?x?3x?4
234?1
??5x1?5x2?2x3?2
解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有
?1
?1??1??1??1?1?0???0??0??0
33?2?420000?1
521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?1101000
1??1
???10??3???0??3??0
??1???01??1???20??0???0??0??0
?0???0
30?5?7?10000?1
5?3?4?4?400?200
?42358?12000
01?1?1101000
1?
??2?2? ?2??2??1???2?0? ?0?0??
因为
rank(A)?rank(B)?4?5，
所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
?x1?x4?1?
?2x1?x5??2
， ?
?2x?03?
??x?x?0?24
解得
?x1?x?2??x3?x?4??x5
?1?k?k?0?k??2?2k
其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
?1?1??2??9
?1?0? ??
?0???0
2?1?3?9
2
0?346
?31?516
?3
2?322
1??1
??20???
?07???25??0
2
?
???????
2?3?7?27
1
2
0?346
?34111
0?
2?5?2?16
3
1?
?1? 5??16?
?1?
?3?34?51
?
2529?8?
011??
333
?
033?2529??72?1
?
0??334?51
?
2529? 8
001?1?
333
?
0000??01?
因为
rank(A)?4?rank(A)?3，
所以原方程无解。
3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
?1?0??1??0
?213?7
3?103
?4111
4??1???30???
?01????3??0
?215?7
3?1?33
?4151
4?
??3? ?3???3?
?1?0???0??0
0100
1?12?4
?2108
?2??1
???30
???
?012????24??0
0100
0020
0008
?8?
?3
?， 12??0?
因为
rank(A)?rank(A)?4，
所以方程组有惟一解，且其解为
?x1??x2??x3?x?4
??8?3?6?0
。
4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
?3?2??4??7?1?0???0??0
4?311?27?1717?34
?53?131?819?1938
7??1???22???
?416???3??79??1
???200
???
?020????40??0
7?311?2
7?1700?83?131?819009?
??2? 16??3?9???20
?， 0??0?
即原方程组德同解方程组为
?x1?7x2?8x3?9x4?0
， ?
??17x2?19x3?20x4?0
由此可解得
??x1???x2??x3?x?4
??
3171917
k1?k1?
13172017
k2k2，
?k1?k2
其中k1,k2是任意常数。
5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?2?3??5??2?2?7???10???10
1?21?11000?12?11?1000
1?32?31?100
1??2??27???
?3?1???4??41??2??47???
?102????3??0
10001000?1000?10001?11?21?1001?
?4? ?2??5?1??4? 2???1?
因为
rank(A)?4?rank(A)?3，
所以原方程组无解。
6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?1?3?
?2
??2??5
22325
3
11?11
1
1?
?1??1??1??2?
?
???????32245
55355
42132
0?
?0?1 ??0?0??
2122
2?12
??2?5?????1???1?0?
05000
22?15
00100
10
0??0??20??
?1?
????05??0???1
?00???
05000
07?65
00100
10
0?
?2?1???， 5?0?0??
即原方程组的同解方程组为
?5x2?7x3?2
?
1?6
， ?x?x???34
5?5
???x1?x3?0
解之得
?x1??x2???x3??x4?
?k?25?75k
?k??
15?65k
，
其中k是任意常数。
2.把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.。
1)??(1,2,1,1)
?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)
?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系
??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4
代入所给向量，可得线性方程组
篇二：高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）?4x1x2?2x1x3?2x2x3；
222
2）x1； ?2x1x2?2x2?4x2x3?4x3223）x1?3x2?2x1x2?2x1x3?6x2x3；
4）8x1x4?2x3x4?2x2x3?8x2x4； 5）x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?x3x4；
2226）x1?2x2?x4?4x1x2?4x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4； 22227）x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x3?2x3x4。
解 1）已知 f?x1,x2,x3???4x1x2?2x1x3?2x2x3， 先作非退化线性替换
?x1?y1?y2
?
?x2?y1?y2（1）
?x?y
3?3
则
22
f?x1,x2,x3???4y1?4y2?4y1y3
2222 ??4y1 ?4y1y3?y3?y3?4y2
22 ???2y1?y3??y3， ?4y2
3
再作非退化线性替换
11?
y?z??1212z3?
?y2?z2 （2）
?y?z
3
?3?
则原二次型的标准形为
f?x1,x2,x3???z1?4z2?z3，
2
2
2
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
11?x?z?z?z32?121
2
?
11?
?x2?z1?z2?z3 （3）
?
22??x3?z3?
于是相应的替换矩阵为
?110???1
1??10
1?02? T???1?10???2
?0
12????20????
1?11???001???2?，?
00
1??2?
????001?
???且有
??100? T?AT???040?
??。
?001??
2）已知f?x222
1,x2,x3??x1?2x1x2?2x2?4x2x3?4x3
由配方法可得
f?xx2221,2,x3???x1?2x1x2?x2???x2?4x2x3 ??x2
1?x2???x2?2x2
3?，
于是可令
??
y1?x1?x2
?y2?x2?2x3，
??y3
?x
3则原二次型的标准形为
f?x,x22
1,x23??y1?y2
， 且非退化线性替换为
?x1?y1?y2?2y3
?
?x2?y2?2y3，
??x3
?y
3相应的替换矩阵为
?1?12?
T???01?2?
?，
??001??
4x23
?
， ?
且有
00??110??1?12??100??1????????
T?AT???110??122??01?2???010?。
?2?21??024??00??1????????000?
22
（3）已知f?x1,x2,x3??x1?3x2?2x1x2?2x1x3?6x2x3，
由配方法可得
22222f?x1,x2,x3??x1 ?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x2?x3?4x2?4x2x3?x3
????
??x2
2
1?x2?x3???2x2?x3?，
于是可令
?y1?x1?x2?x ?
3
?y2?2x2?x3，
??y3
?x
3则原二次型的标准形为
f?xy22
1,x2,x3??1?y2
， 且非退化线性替换为
?
?x1
?y1?1y2?3y3?
22
?
?x11?
2?2y2?2y3，
??x3?y3?
相应的替换矩阵为
??11?3??
22??T??1?0
?1
?， ?2?00
12???
??
且有
???
1?1011??2?3?T?AT??
1
10?
??1??1?0??12?
??232???1?3?3????0
2?1??1??1????1?30???0
2???
?01????2
?12
??0
?
??0?
（4）已知f?x1,x2,x3,x4??8x1x2?2x3x4?2x2x3?8x2x4，00?
10??。 00??
?
先作非退化线性替换
?x1?y1?y4?x?y?22
?，
x?y3?3??x4?y4
则
2
f?x1,x2,x3,x4??8y1y4?8y4?2y3y4?2y2y3?8y2y4
2
?211??111???1
?8?y4?2y4?y1?y2?y3???y1?y2?y3??
28??228???2???
11??1
?8?y1?y2?y3??2y2y3
28??2
111??1??
?8?y1?y2?y3?y4??2?y1?y2?y3??2y2y3，
284??2??
再作非退化线性替换
2
2
2
?y1?z1
?y?z?z?223
?，
?y3?z2?z3??y4?z4
则
5353??1??
f?x1,x2,x3,x4??8?z1?z2?z3?z4??2?z1?z2?z3?
8844??2??
22
?2z2， ?2z3
22
再令
53?
w?z?x?x312?1
44
?
?w2?z2
?，
?w3?z3?153
?w4?z1?z2?z3?z4
288?
则原二次型的标准形为
2222
f?x1,x2,x3,x4???2w1， ?2w2?2w3?8w4
且非退化线性替换为
153?x?w?w??121424w3?w4?
?x2?w2?w3
?，
?x3?w2?w3?1x??w1?w4?4
2?
相应的替换矩阵为
?1
??20
T??
?0?1???2
且有
?
54110
?
3410
?1
?1??0?， ?0?1??
??2??0
T?AT??
0??0?
00200?200
0??0?。 ?0?8??
（5）已知f?x1,x2,x3,x4??x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?x3x4， 先作非退化线性替换
?x1?2y1?y2
?x?y?22
?，
x?y3?3??x4?y4
则
2
f?x1,x2,x3,x4??2y1y2?y2?2y1y3?2y2y3?2y1y4?2y2y4?y3y4
??y1?y2?y3?y4?再作非退化线性替换
2
1?32?
??y3?y4??y4?y12，
2?4?
2
?z1?y1
?z?y?y?y?y21234??
?， 1
?z3?y3?2y4???z4?y4
即
篇三：高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程
第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有
a?b?K，ab?K，且当b?0时，a/b?K，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {a?bi |a,b∈Q}，其中i =?1。
命题 任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素a?K，且a?0。于是
0?a?a?K，
1?
aa
?K。
进而?m?Z?0,
m?1?1????1?K。
最后，?m,n?Z?0，
mn
?K，?
mn
?0?
mn
?K。这就证明了Q?K。证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做A\B。
定义（集合的映射） 设A、B为集合。如果存在法则f，使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素（记做f(a)），则称f是A到B的一个映射，记为
f:A?B,a?f(a).
如果f(a)?b?B，则b称为a在f下的像，a称为b在f下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像，记做f(A)，即f(A)??f(a)|a?A?。
若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射。若 ?b?B,都存在a?A，使得f(a)?b，则称f为满射。如果f既是单射又是满射，则称f为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号
1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域K上n个数a1,a2,?,an，我们使用如下记号：
n
a1?a2???an?
n
?a
i?1i
i
,
a1a2?an?
?a
i?1
.
当然也可以写成
a1?a2?......?an?
?a
1?i?ni
i
,
a1a2......an?
?a
1?i?n
.
2. 求和号的性质. 容易证明，
n
n
??ai?
i?1
n
??a
i?1n
i
n
?(a
i?1
i
?bi)?
m
ij
?a
i?1
i
?
?b
i?1
i
nmn
ij
??a
i?1
j?1
?
??a
j?1i?1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a11a21......an1
an2a12a22
........................
a1ma2m......anm
分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课
2一元高次代数方程的基础知识
1.2.1高等代数基本定理及其等价命题
1. 高等代数基本定理
设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果
f(x)?a0x
n
?a1x
n?1
?......?an?K[x],(a0?0)，则称n为f(x)的次数，记为degf(x)。
定理（高等代数基本定理） C[x]的任一元素在C中必有零点。
nn?1
?......?an,(a0?0，n?1)是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C命题 设f(x)?a0x?a1x
上首项系数为a0的n?1次多项式q(x)，使得
f(x)?q(x)(x?a)?f(a)
证明 对n作数学归纳法。
推论 x0为f(x)的零点，当且仅当(x?x0)为f(x)的因式（其中degf(x)?1）。
命题（高等代数基本定理的等价命题） 设f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an (a0?0，n?1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使
f(x)?a0(x??1)(x??2)......(x??n)
证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式
a0xn?a1xn?1?....?..an?1x?an?0（1）
（其中a0,a1,......,an?K,a0?0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x???K带入（1）式后使它变成等式，则称?为方程（1）在K中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n(?1)次代数方程在复数域C内必有一个根。 命题 n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f(x)?a0?a1x?......?anxg(x)?b0?b1x?......?bmx
n
(an?0)， (bm?0)，
m
如果存在整整数l,l?m,l?n,及l?1个不同的复数?1,?2,......,?l,?l?1，使得
f(?i)?g(?i)
(i?1,2,......,l?1)，
则f(x)?g(x)。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
nn?1
设f(x)?a0x?a1x???an，其中ai?K,a0?0。设f(x)?0的复根为?1,?2,?,?n（可能有重复），则
1a0
n
f(x)?
?(x??
i?1n
i
)?(x??1)(x??2)?(x??n)
n?1
?x?(?1??2????n)x????1?2??n.
所以
a1a0
?(?1)(?1??2????n)；
1
a2a0
?(?1)
2
??
0?i1?i2?n
i1
?i；
2
???????? ana0
?(?1)?1?2??n.
n
我们记
?0(?1,?2,?,?n)?1；
?1(?1,?2,?,?n)??1??2????n；
????????
?r(?1,?2,?,?n)?
i1i2
0?i1?i2???ir?n
??
???i；
r
????????
?n(?1,?2,?,?n)??1?2??n
（?1,?2,?,?n称为?1,?2,?,?n的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设f(x)?a0xn?a1xn?1???an，其中ai?K,a0?0。设f(x)?0的复根为?1,?2,?,?n。则
a1a0a2a0
?(?1)?1(?1,?2,?,?n)；
1
?(?1)?2(?1,?2,?,?n)；
2
???????? ana0
?(?1)?n(?1,?2,?,?n).
n
命题 给定R上n次方程
nn?1
?....?..an?1x?an?0，a0?0， a0x?a1x
如果??a?bi是方程的一个根，则共轭复数?a?bi也是方程的根。
证明 由已知，
a0??a1?
n
n?1
?......?an?1??an?0.
两边取复共轭，又由于a0,a1,......,an?R，所以
a0n
?a1n?1
?......?an?1?an?0.
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。 第一学期第三次课
3线性方程组
1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的Gauss消元法。
定义（线性方程组的初等变换） 数域K上的线性方程组的如下三种变换 （1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素c； （3） 把某一个方程加上另一个方程的k倍，这里k?K 的每一种都称为线性方程组的初等变换。
容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为
x2?2??anxn1?b,1?a11x1?a1
?
x2?2??anxn2?b,2?a12x1?a2
? （*）
?......
?ax?ax???ax?b.
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经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。
设x1?k1,x2?k2,......,xn?kn是（*）的解，即（*）中用xi?ki(i?1,2,......n)代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到x1?k1,x2?k2,......,xn?kn代入（**）后也成为等式，即x1?k1,x2?k2,......,xn?kn是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。 证毕。
1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域K上的矩阵） 给定数域K中的mn个元素aij（i?1,?,m，j?1,?,n）。把它们按一定次序排成一个m行n列的长方形表格
?a11
?a21
A??
?......???am1
a12a22am2
........................
a1n?
?a2n
?. ......?
?amn??
称为数域K上的 一个m行n列矩阵，简称为m?n矩阵。
定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵A称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到A内作为最后一列，得到的m?(n?1)矩阵
?a11
?a21
A??
?......???am1
a12a22am2
........................
a1nb1?
?a2nb2
?. ......?
?amnbn??
称为方程组的增广矩阵。
定义(矩阵的初等变换) 对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换 （1） 互换两行（列）的位置；
（2） 把某一行（列）乘以K内一个非零常数c；
（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的k倍，这里k?K 称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。 这类方程组的一般形式是
《高等代数(北大版第三版)习题答案I》出自：百味书屋
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