篇一：初升高 经典 数学教材
初高中数学衔接教材
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●
初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，
当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识
点
1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
)?a(a?0?(a0?)⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即a??0
??a(a?0)?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:|x|?a(a?0)??a?x?a；|x|?a(a?0)?x??a或x?a 2 乘法公式：
⑴平方差公式：a?b?(a?b)(a?b)
⑵立方差公式：a?b?(a?b)(a?ab?b)
⑶立方和公式：a?b?(a?b)(a?ab?b)
⑷完全平方公式：(a?b)?a?2ab?b， 2223322332222
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc
⑸完全立方公式：(a?b)?a?3ab?3ab?b
3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
33223
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax?b解的讨论
①当a?0时，方程有唯一解x?b； a
②当a?0，b?0时，方程无解
③当a?0，b?0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：ax?bx?c?0(a?0)
2①方程有两个实数根? ??b?4ac?0 2
???0?②方程有两根同号?? cx1x2??0?a?
???0?③方程有两根异号?? cx1x2??0?a?
④韦达定理及应用：x1?x2??
2
1222bc,x1x2? aa? x?x?(x1?x2)?
2x1x2,x1?x2??322x13?x2?(x1?x2)(x12?x1x2?x2)?(x1?x2)?(x?x)?3x1x2?12??
8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y?kx?b（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当k?0， b?O，则经2、3、4象限；当k?0，b?0时，则经1、2、4象限；当k?0， b?0时，则经1、3、4象限；当k?0， b?0时，则经1、2、3象限。 ④当k?0时，y的值随x值的增大而增大，当k?0时，y的值随x值的增大而减少。
（4）二次函数： b24ac?b2b, )?①一般式：y?ax?bx?c?a(x?(a?0)，对称轴是x??2a2a4a2
b4ac?b2
（－,)； 顶点是2a4a
②顶点式：y?a(x?m)2?k(a?0)，对称轴是x??m,顶点是??m,k?；
③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象关于直线x??
②a?0时，在对称轴 （x??b对称。 2abb）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x??）2a2a
4ac?b2b右侧；y的值随x值的增大而增大。当x??时，y取得最小值 2a4a
③a?0时，在对称轴 （x??bb）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x??）2a2a
4ac?b2b右侧；y的值随x值的增大而减少。当x??时，y取得最大值 2a4a
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设M(x1,y1)，M?(x2,y2)是直角坐标系内的两点，
①若M和M'关于y轴对称，则有??x1??x2。
?y1?y2
?x1?x2②若M和M'关于x轴对称，则有?。 y??y?12
篇二：数学初升高衔接课
数学初升高衔接课---不等式含参问题（一）
本视频主要讲了不等式的含参问题以及这块需要注意那些东西？
求解下列含参不等式：⑴ax?2 ＞0；
⑵ax2?2x?a＞0；
⑶x2??a?2?x?4a?2a2＜0.
数学初升高衔接课---不等式含参问题（二）
本视频主要讲了我们需要关注的是已知结果求参数值。
已知解集求参数
1，则不等式bx?a＜0的解集是 。 3
1⑵已知?2m?1?x＞1的解集是x＜，则m的取值范围是 。 2m?1
11⑶一元二次不等式ax2?bx?2＞0的解集是?＜x＜，则a?b? 。 32⑴若ax?b＞0的解集为x＜
代数变形技巧
本视频主要为大家介绍数学初升高衔接课之代数变形技巧。
1b?c?b?c?2??a?b?? c?a?且a?0，则? 。 a4
3o例2.已知 0o＜?＜60o且sin60???，则tan??30o?。 5例1.已知????
例3.已知x?
5?5?，y?，求x2?y2。 22
恒等式化简技巧
本视频主要是通过题目的形式给大家展现我们常见的一些恒等式化简技巧。 恒等式求解：⑴x?y?1，则x3?y3?3xy? 。
a2b2c2
??? 。 ⑵已知abc?0，且a?b?c?0，则代数式bcacab
⑶已知a2?a?1?0，试求2a2?2a和a3?2a2?2015的值。
常用公式
本视频主要为大家介绍高中相对比较常用，但在初中有些同学又不太熟悉的公式。 例1.已知x?11?3，则x3?3? xx
例2.已知x?y?1，则x3?y3?3xy?。
整式除法
本视频主要为大家讲解初升高衔接课的整式除法。
x3
? 。 例1.计算多项式除法x?2
例2.因式分解：x3?6x2?11x?6?
韦达定理
本视频主要为大家讲解初升高衔接课的韦达定理。
例1.已知二次方程x2?6x?k?0的两根x1,x2满足x2?2x1，求k的值。
例2.已知实数a?b，且满足?a?1??3?3?a?1? ，3?b?1??3??b?1?，求22ab?的ba值。
二次不等式
本视频主要是结合例题为大家讲解二次不等式。
例1.求解二次不等式x2?x＞2
例2.求解二次不等式x2?18x?32?0
例3.求解不等式x4?4＜3x2
篇三：2014初升高数学教案-老师讲义
太学教育――2014初升高数学衔接班姓 名:_________
――学 生 讲 义 时 间:_________
目录
第一章： 集合与函数概念
第二章：第三章：1．1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算
1．2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示方法
1．3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
基本初等函数
2．1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质
2．2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算 2.2.2 对数函数及其性质
2．3幂函数
函数的应用
3．1 函数与方程
3．2 函数模型及其应用
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能
判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
A大于3小于11的偶数； B我国的小河流； C非负奇数；
D方程x2?1?0的解；
E某校2007级新生； F血压很高的人； G著名的数学家；
H平面直角坐标系内所有第三象限的点； I全班成绩好的学生。 4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的
元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集
合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 注：集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a?A 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A
4?A，等等。
讨论：质数，合数，偶数，奇数
6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C?表示，集合的元素用小写的拉丁字母
a,b,c,?表示。 ７．常用的数集及记法：
1、非负整数集（或自然数集），记作N； 2、正整数集，记作N*或N+； 3、整数集，记作Z； 4、有理数集，记作Q； 5、实数集，记作R； （二）例题讲解：
例1．用“∈”或“?”符号填空：
（1）； （2）； （3）Z； （4
；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国，美国，印度，英国。 例2．已知集合P的元素为1,m,m2?3m?3, 若3∈P且-1?P，求实数m的值。
一、复习回顾：
１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。 ２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系 二、新课教学 （一）．集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“?
?”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?；
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略
号， 例如自然数集Ｎ用列举法表示为?1,2,3,4,5,......? 例1．用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x2=x的所有实数根组成的集合； （3）由1到20以内的所有质数组成的集合；
?x?2y?0;
（4）方程组?的解组成的集合。
?2x?y?0.
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：?x?Ap(x)
?
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，?；
注：描述法表示集合应注意集合的代表元素，
如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解， 集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。 辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
例：1. 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；
?x?y?3;
（3）方程组?的解。
?x?y??1.
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，
注意：一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 2．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
3．集合A＝{x|
4．已知集合A＝{x|-3<x<3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x2+1，x∈A}，则集合B用列举法表示是
集合的含义与表示强化训练：
一、选择题
1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）
A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数
2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A．{x|x?3?3}B．{(x,y)|y2??x2,x,y?R} C．{x|x2?0} D．{x|x2?x?1?0,x?R} 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）．A (AC)(BC ) B．(AB)(AC)
C． (AB)(BC) D．(AB)C
4．下面有四个命题：（1）集合N中最小的数是1；（2）若?a不属于N，则a属于N
A
（3）若a?N,b?N,则a?b的最小值为2；（4）x2?1?2x的解可表示为?1,1?；
其中正确命题的个数为（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个 5．若集合M??a,b,c?中的元素是△ABC的三边长，
则△ABC一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．若全集U??0,1,2,3?且CUA??2?，则集合A的真子集共有（ ） A．3个B．5个C．7个D．8个 二、填空题
1．用符号“?”或“?”填空 （1）0______N,
4
∈Z，x∈N}，则它的元素是 。 x?3
B
______N,______N
1
（2）?______Q,?_______Q,e______CRQ（e是个无理数）
2
（3x|x?a?,a?Q,b?Q
2. 若集合A??x|x?6,x?N?，B?{x|x是非质数}，C?AB，则C的非空子集的个数为。 3．若集合A??x|3?x?7?，B??x|2?x?10?，则AB?_____________．
4．设集合A?{x?3?x?2},B?{x2k?1?x?2k?1},且A?B，则实数k的取值范围是。 5．已知A?yy??x2?2x?1,B??yy?2x?1?，则AB?_________。
??
??
8??
三、解答题1．已知集合A??x?N|?N?，试用列举法表示集合A。
6?x??
2．已知A?{x?2?x?5}，B?{xm?1?x?2m?1}，B?A,求m的取值范围。
3．已知集合A??a2,a?1,?3?,B??a?3,2a?1,a2?1?，若AB???3?，求实数a的值。
4．设全集U?R，M??m|方程mx2?x?1?0有实数根?，
N??n|方程x2?x?n?0有实数根?,求?CUM?
N.
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