篇一：高中物理竞赛教程：1.5《透镜成像》
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1.5 透镜成像
1.5.1、透镜成像作图 （1）三条特殊光线
①通过光心的光线方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。 （2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴OO’平行于SA，OO?与焦平面 MM?交于
P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射
光线
*像与物的概念：视为一个“物点”即“物”图1-5-1
1.5.2 薄透镜成像公式是：
1
u?
?
1
?
1f
式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令x?u?f，x????f，则有
xx?
?f
2
图1-5-2
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该式称为“牛顿公式”。式中x是物到“物方焦点”的距离，x?是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x?取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清x,x?的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。
一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心u1?30cm和u2?15cm的两点时，求像所在的位置及速度。
x1?u1?f?10cm，x2?u2?f??5cm
代入牛顿公式得
??60cm， x1??40cm，x???80cm，?1?x1??f?60cm，?2?x2
上述x1、x
2设在△t ?x?，有
x???
当△t→0x???xx
?x??
fx
2
x??xx?
????????
?tx
?tx
?x?
?的值代入，求得?1??0
.8m/s，将x1、x2、x1?、x2
??3.2m/s 。像移动方向与移动方向相同。 ?2
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距
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取正值，虚物物距取负值。
*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。假定
n??n，P
为实物，P?为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如将（a）反
?
向为（b）图所示，则P0表示光线在未遇凸面镜之前是会聚的，P0为虚物P0实物。
1.5.3、组合透镜成像 如果由焦距分别为
f1和f2的
均为
A、B
个透镜组（共主轴）将一个点光源S处，
图1-5-4
因为A、B1u?1
?
S经A后成像S1，设S1位于A右侧距A为?1处，应有
1u?1
?1
?
1f1
②
因为S1位于透镜B右侧?1处，对B为一虚物，物距为?1，再经B成像，所以
1u?1
?1
?
1f1
③
由②、③可解得
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1??1
?
1
?
?
1f2
④
比较①、④两式可知
1
u?
?
1
?
1f1
?
1f2
如果A、B中有凹透镜，只要取负的f1或f2代入即可。 1.5.4、光学仪器的放大率
实像光学仪器的放大率此类仪器获得的是物体的实像，因而放大率m即v=mu。
24的像；若想得到放大率为40别移动多少？
根据第一次放映可知
?u1??1?2.5
???
??1?mu1
可解得 u1?0?1?2.4m
f?
u1?1u1??1
?0.096m
第二次放映
11?1????u2?2f??
??2?m2u2?40u2 ?
可解得 u2?0.0984m，?2?3.94m
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比较u1和u2，可知镜头缩回1.6mm；比较?1和?2，可知银幕应移远1.54m。
虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得到的是物体的虚像，目的是扩大观察的视角，因此放大率m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α，用仪器观察物体的视角为β，那么
m=β/α
筒长L经物镜Ⅰ放大率
m1 因f1、f2B1O1?L，即 m1?L/f1
A1B1位于目镜Ⅱ的焦点内，经目镜成一放大的虚像A2B2（通常让A2B2成在观察者的明视距离d上）。因为都是近轴光线，所以此时观察者从目镜中看到A2B2的视角β为
??tan??
A2B2
d
?A1B1B1O2
?A1B1f2
若观察者不用显微镜，直接观看AB的视角α为
篇二：高中竞赛教程3.1.5 透镜成像
1.5、透镜成像
1.5.1、透镜成像作图
（1）三条特殊光线
①通过光心的光线方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。 （2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴OO’平行于SA，OO?与焦平面
MM?交于P点，连接AP或AP的反向延长线
即为SA的折射光线
*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，
图1-5-1
若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
1.5.2、薄透镜成像公式
薄透镜成像公式是：
111
??
fu?
式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令x?u?f，x????f，则有
2?
xx?f
图1-5-2
该式称为“牛顿公式”。式中x是物到“物方焦点”的距离，x?是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x?取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清x,x?的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。
一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心u1?30cm和u2?15cm的两点时，求像所在的位置及速度。
x1?u1?f?10cm，x2?u2?f??5cm 代入牛顿公式得
??40cm，x???f?60cm，?2?x2??f??60cm， ??80cm，?1?x12 x1
?、x2?意义如图1-5-2所示。 上述x1、x2、x1
设在△t时间内，点光源的位移为△x，像点的位移为 ?x?，有
f2f2(x??x)
x???x???2
x??xx??x2
当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，有
f2f2?xf2?x
x???x???2?x??2
xxx f2??xx?
?x?????x2
xx ?x?x??xx?
????????
?tx?tx
??0.8m/s?、x2?的值代入，求得?
1
将x1、x2、x1
??3.2m/s 。像移动方向与移动方向相同。 ?2
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透
镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。
实
物物距取正值，虚物物距取负值。
*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。假定
n??n，P为实物，P?为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如将（a）
?PPP000反向为（b）图所示，则表示光线在未遇凸面镜之前是会聚的，为虚物均为实物。
1.5.3、组合透镜成像
如果由焦距分别为f1和f2的A、B两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴）将一个点光源S放在主轴上距透镜u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像S?（图1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。
因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有
111
??u?f ①
图1-5-4
另一个考虑角度可认为S?是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经A后成像S1，设S1位于A右侧距A为?1处，应有
111??u?1f1 ②
因为S1位于透镜B右侧?1处，对B为一虚物，物距为?1，再经B成像，所以
111
??u?1f1③
由②、③可解得
111????1?f2 ④
比较①、④两式可知
1111???
u?f1f2
如果A、B中有凹透镜，只要取负的f1或f2代入即可。
1.5.4、光学仪器的放大率
实像光学仪器的放大率幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像，因而放大率m一般是指所有成实像的长度放大率，即v=mu。
如果有一幻灯机，当幻灯片与银幕相距2.5m时，可在银幕上得到放大率为24的像；若想得到放大率为40的像，那么，假设幻灯片不动，镜头和银幕应分别移动多少？
根据第一次放映可知
?u1??1?2.5
???
??1?m1u1?24u1 可解得 u1?0.1m，?1?2.4m
f?
第二次放映
u1?1
?0.096m
u1??1
11?1????u2?2f???
??2?m2u2?40u2
可解得 u2?0.0984m，?2?3.94m
比较u1和u2，可知镜头缩回1.6mm；比较?1和?2，可知银幕应移远1.54m。
虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得到的是物体的虚像，目的是扩大观察的视角，因此放大率m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α，用仪器观察物体的视角为β，那么
m=β/α
先看显微镜的放大率。如果
有一台显微镜，物镜焦距为f1，目镜焦距为f2，镜筒长L，若最后的像成在离目镜d处，试证明显微镜
m?
Ld
f1f2。
的放大率
显微镜的光路如图1-5-5所示，AB经物镜Ⅰ成一放大实像
图1-5-5
A1B1，物镜的长度放大率
m1?
A1B1B1O1
?ABBO1
因f1、f2相对L都较小，而且B很靠近F1，所以
B1O1?L，BO1?f 即 m1?L/f1
A1B1位于目镜Ⅱ的焦点内，经目镜成一放大的虚像A2B2（通常让A2B2成在观察者的明视距离d上）。因为都是近轴光线，所以此时观察者从目镜中看到A2B2的视角β为
篇三：高中物理竞赛教程：1.4《光在球面上的反射与折射》
1.4、光在球面上的反射与折射
1.4.1、球面镜成像
（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面
图1-4-1
图
1-4-2
的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点
F（图1-4-1），这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸
面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F（图1-4-2），这
F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜
的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即
f?
R
2
（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于S?点，半径CA为反射的法线，S?即S的像。根据反射定律，
?SAC??S?AC，则CA为SAS?角A的平分线，根据角平分线的性质有
ASCS
?
AS?CS? ①
由为SA为近轴光线，所以AS??S?O，AS?SO，①式可改写为
OSCS
?
OS?CS? ②
②式中OS叫物距u，OS?叫像距v，设凹镜焦距为f，则
CS?OS?OC?u?2f
CS??OC?OS??2f??
代入①式
u
?
?
u?2f
2f??
111??u化简 ?f
这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
111??u?f
上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，
m?
h???hu
由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况
表Ⅱ 凸镜成像情况
（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球
面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
如图1-4-4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R，现于主轴上
距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？
图1-4-4
OS在凹镜中成像，
u1?0.6R
，f1?
1R 2
111??u1?1f1
112
??
0.6R?1R
可解得 ?1?3RO1O2?2.6R,
根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反
射，此时可将凹镜原来要成像S1作为凸镜的虚物来处理，
u2?(2.6R?3R)??0.4R，f2??
111?? u2?2f2
R 2
?
112???0.4R?2R
可解得?2?2R
说明凸镜所成的像S2和S在同一位置上。 1.4.2、球面折射成像 （1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像 如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，S?为S的像。因为i、r均很小，行以
sinii
??nsir
图1-4-5
①
因为i????，r???? 代入①式可有
???r?n(???) ②
对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有
??
xxx????u，R，?
代入②式可得
1nn?1??uR?
当u??时的v是焦距f，所以
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