篇一：2015年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析
2015年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析
1．
如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按
1
照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y??x2?bx?c表示，且抛物线上的
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点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双
向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果
灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 2．
已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与
14
x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，－1)，连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜－1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）①若D（－4，m）为抛物线y＝x2＋bx＋c上一定点，点D到直线l的
距离记为d，当d＝DO时，求t的值；
②若为抛物线y＝x2＋bx＋c上一动点，点D到①中的直线l的距离与
14
14
OD的长是否恒相等，说明理由；
（3）如图2，若E,F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点
为M，求点M纵坐标的最小值．
图1 图2
3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长
有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
4.如图17，抛物线F：y?ax2?bx?c(a?0)与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t个单位得到直线L2，设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC （1）当a?
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，b??，c?1，t?2时，探究△ABC的形状，并说明理由； 22
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）
1，解：（1）由题知点B(0,4),C(3,
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)在抛物线上 2
?c?4
?b?212?
y??x?2x?4所以?17，解得，所以?1
6c?4???9?3b?c??6?2
b
?6时，y最大?10所以，当x??2a1
答：y??x2?2x?4，拱顶D到地面OA的距离为10米
6
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
22
当x?2(或x?10)时，y?＞6，所以可以通过
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（3）令y?8，即?x2?2x?4?8，可得x2?12x?24?0，解得
6
x1?6?23,x2?6?2
x1?x2?4答：两排灯的水平距离最小是43 2．解(1) ∵AO=2CO C(0-1) ∴OA=2A(-2,0)
将点A、C代入抛物线解析式得:
1
y?x2?1
4
(2)①由抛物线得D(-4,3) ∴OA=5 又∵d=DO ∴t=-2
1
②设D(a,a2?1)
41111
0D2?a2?(a2?1)2?a2?a4?a2?1?(a2?1)2
41624
11
点D到直线l的距离: a2?1?2?a2?1
44
∴d=DO
(3)作EI⊥直线l于点I,FH⊥直线l于点H 设E(x1,y1),F(x2,y2) 则EI=y1+2,FH=y2+2 ∵M为EF中点 ∴M
纵坐标为
y1?y2(EI?2)?(FH?2)EI?FH
???2 222
由(2)②得EI=OE,FH=OF
∴
y1?y2EI?FHOE?OF
?? 222
当EF过点O时,OE+OF最小
EG?FHOE?OF
?2??2?2 ∴M纵坐标最小值为
22
篇二：【解析版】中考数学常考易错点：3.3.2《二次函数》(原创)
二次函数
易错清单
1. 二次函数与方程、不等式的联系.
【例1】 (2014·湖北孝感)抛物线y=ax+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: 2
①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
其中正确结论的个数为( ).
A. 1个
C. 3个 B. 2个 D. 4个
2【解析】 由抛物线与x轴有两个交点得到b-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称
轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,
22二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax+bx+c=2,所以说方程ax+bx+c-2=0有两个相等的
实数根.
【答案】 ∵ 抛物线与x轴有两个交点,
∴ b2-4ac>0,所以①错误.
∵ 顶点为D(-1,2),
∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1.
∵ 抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,
∴ 抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间.
∴ 当x=1时,y<0.
∴ a+b+c<0,所以②正确.
∵ 抛物线的顶点为D(-1,2),
∴ a-b+c=2.
∵ 抛物线的对称轴为直线
∴ b=2a. =1,
∴ a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.
∵ 当x=-1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=1时,ax+bx+c=2, 2
∴ 方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
故选C.
【误区纠错】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图2
象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线
22-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当
b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
2. 用二次函数解决实际问题.
【例2】 (2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A,B两组材料的温度分别为yA℃,yB℃,yA,yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,
象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.
(1)分别求yA,yB关于x的函数关系式;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?
(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大
? (部分图
【解析】 (1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;
(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;
篇三：中考二次函数经典题及解析
一、选择题
2、（2014年山东泰安第20题）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X﹣1013
y﹣1353
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；
∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选B．
【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的
关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
《中考数学二次函数经典易错题解析》出自：百味书屋
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