篇一：勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明（看前5个就可以了）
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11
a2?b2?4?ab?c2?4?ab
22， 整理得 a2?b2?c2.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
1ab
等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、
C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
2
??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴
【证法3】（赵爽证明）
?a?b?2
1
?4?ab?c2
222
2. ∴ a?b?c.page 1 of 9
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2
??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
12
4?ab??b?a??c2
∴ 2.
∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
222
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
12c2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD∥BC.
1
?a?b?2
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1
?a?b?2?2?1ab?1c2
22. ∴ 2
222
∴ a?b?c.
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【证法5】（辛卜松证明）DD
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
?a?b?2?a2?b2?2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的
面积为
222
∴ a?b?2ab?2ab?c,
222
∴ a?b?c.
【证法6】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.
又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即∠CBD= 90o. A
又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
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?a?b?2
1
?4?ab?c2
2
2 =2ab?c.
设多边形GHCBE的面积为S，则
1
a2?b2?S?2?ab,
2 1
c2?S?2?ab
2,
∴ a?b?c.
【证法7】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条
直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， C∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法8】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点
在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点
KL. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12
a
∵ ΔFAB的面积等于2222
ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
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∴ 矩形ADLM的面积 =a.
2
同理可证，矩形MLEB的面积 =b.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222
∴ c?a?b ，即 a?b?c. 【证法9】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，
∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
2AC?AD?AB即 .
2
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.
222222??AC?BC?AD?DB?AB?AB∴ ，即 a?b?c.
2
【证法10】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
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篇二：勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
a?b?4?
2
2
12
， 整理得 a?b?c.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
2
ab?c?4?
2
1
ab
222
1
等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 2
正方形. 它的面积等于c.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
2
??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
ab
2∴ . ∴ a
【证法3】（赵爽证明）
?a?b?2
?4?
1
ab?c
2
2
?b?c
22
.page 1 of 9
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1
三角形的面积等于2
. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2
??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
ab
∴ 2.
222
∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
1
4?
1
ab??b?a??c
2
2
积等于2
. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. E∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
1c
2
ab
它的面积等于2.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.
1
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2
1
?a?b?2
.
22∴ 2.
222
∴ a?b?c. 【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于
?a?b?2
?2?
1
ab?
1
c
2
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点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.
又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即∠CBD= 90o. BA
又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则
a?bc
22
2
?S?2?
12ab
12
ab,
?S?2?
2
2
∴ a?b
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条
直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
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, 2
?c.
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点
在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 1
∵ ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
2
∴ 矩形ADLM的面积 =a2同理可证，矩形MLEB的面积 =b. ∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222
∴ c?a?b ，即 a?b?c. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，
∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB， B2
即 AC?AD?AB.
2
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.
∴ AC
2
a
2
?BC
2
??AD?DB??AB?AB
2
，即 a
2
?b?c
22
.
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
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∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = T
CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. EB∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
c
2
?S1?S2?S3?S4?S5
①
=
b?
2
∵
S8?S3?S4?
12
?b??b?a????a??b?a??
12
ab
，
S5?S8?S9
2
，
12ab?S8
∴
把②代入①，得
c
2
2
2
2
9
S3?S4?b?
=
b?S1?S8
2
. ②
?S1?S2?b?S1?S8?S8?S9
2
2
= b?S?S = b?a. 222
∴ a?b?c.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，
BT = BE = b， page 5 of 9
篇三：勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，
设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11
a2?b2?4?ab?c2?4?ab222
22， 整理得 a?b?c.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点
在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
2
??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴
?a?b?2
1
?4?ab?c2
222
2. ∴ a?b?c.
【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1
ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2
??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
12
4?ab??b?a??c2
2∴ .
222
∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1ab
形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点
在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
12c2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.
1
?a?b?2
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.
1
?a?b?2?2?1ab?1c2
22. ∴ 2
222
∴ a?b?c.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则
11
c2?S?2?aba2?b2?S?2?ab,
2, 2
222
∴ a?b?c.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面积等于2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
2
a∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222
∴ c?a?b ，即 a?b?c.
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
2
即 AC?AD?AB. 2
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.
222222
∴ AC?BC??AD?DB??AB?AB，即 a?b?c.
2
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
c2?S1?S2?S3?S4?S5 ①
1
?b??b?a????a??b?a??b2?1ab22， =
∵
S8?S3?S4?
S5?S8?S9， ∴
把②代入①，得
S3?S4?b2?
1
ab?S822= b?S1?S8 . ②
c2?S1?S2?b2?S1?S8?S8?S9
222
= b?S2?S9 = b?a. 222
∴ a?b?c.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE.
R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90o，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7?S2.
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE
《勾股定理的证明方法》出自：百味书屋
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