篇一：抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号
f(x)”有关问题解法
f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地
掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式，从而求出
f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u
例1：已知
f(
∴
f(x)?
2?x
1?x
2.凑合法：在已知
f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，
还能进一步复习代换法。
例2：已知
11f(x?)?x3?3
xx
，求
f(x)
解：∵
1111111
f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1
xxxxxx|x|
∴
f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设
f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?4
1313?22
?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?1
2222?2b?2
?
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵
?lg(1?x),x?0f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)??
??lg(1?x),x?0
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?
1
， 求f(x),g(x). x?1
例5．一已知解：∵
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
f(x)+g(x)=
1
???①中的x, x?1
1
不妨用-x代换
11
即f(x)－g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
∴
f(?x)?g(?x)?
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例6：设解：∵
f(x)的表达式
f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n
n(n?1)1
以上各式相加，有f(n)=1+2+3+??+n=∴f(x)?x(x?1),x?N
22
二、利用函数性质，解
f(x)的有关问题
1.判断函数的奇偶性： 例7 已知
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
证明：令x=0, 则已知等式变为在①中令
y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由
f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2)，∵f(x)为函数，∴f(1?m)?f(m2?1)
??1?1?m?1?
又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴??1?m2?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目 例9：如果
f(x)=ax2?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax2?bx?c的对称轴 f
(2)最小，
解：对任意t有
又∵其开口向上∴∴
f
(1)=
f
(3)∵在［2，＋∞)上，
f(x)为增函数
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是
的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
2
解：设∵∴
在条件中，令y＝－x，则（x）为奇函数，
，∵当
，
，即
，∴，
，∴f（x）为增函数。
，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不
等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设
，∵当
，
即
，∴f（x）为单调增函数。
∵
， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3
。∴
，∴
，则
，∴
2、指数函数型抽象函数
， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入
。若f（x）＝0，则对任意
，使得，对任何x和y，
的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则
，∴
，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
，有
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，
f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在（1）x＝1时，∵
3
，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数
，用数学归纳法证明如下：
，结论正确。 ；③f（2）＝4。同
，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴
（2）假设结论正确。
综上所述，x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数
时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，
。
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数解：（1）∵（2
）即
的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。 ，∴f（1）＝0。
，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，求：
，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b
，从而
，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a
＋b）＝g（a）·g（b）。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是
的抽象函数，从而由
及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数
（这里把a看成
进行猜想）。
4
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1
）均小于零，进而知（0，2a）上f（x）是增函数。
中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在
又
＜x－2a＜2a，
，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2
－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若
，求a的取值范围。
时，
。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，
，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
，
（3）∵f（27）＝9，又∴
，∴
，∵
，∴
5
，
篇二：抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“f(x)”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号
f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地
掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式，从而求出
f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u
例1：已知
f(
∴
f(x)?
2?x
1?x
2.凑合法：在已知
f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，
还能进一步复习代换法。
例2：已知
11f(x?)?x3?3
xx
，求
f(x)
解：∵
1111111
f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1
xxxxxx|x|
∴
f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设
f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?4
1313?22
?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?1
2222?2b?2
?
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵
?lg(1?x),x?0f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)??
??lg(1?x),x?0
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?
1
， 求f(x),g(x). x?1
例5．一已知解：∵
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
f(x)+g(x)=
1
???①中的x, x?1
不妨用-x代换
11
即f(x)－g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
∴
f(?x)?g(?x)?
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例6：设解：∵
f(x)的表达式
f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n
n(n?1)1
以上各式相加，有f(n)=1+2+3+??+n=∴f(x)?x(x?1),x?N
22
二、利用函数性质，解
f(x)的有关问题
1.判断函数的奇偶性： 例7 已知
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
证明：令x=0, 则已知等式变为在①中令
y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由
f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2)，∵f(x)为函数，∴f(1?m)?f(m2?1)
??1?1?m?1?
又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴??1?m2?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目 例9：如果
f(x)=ax2?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax2?bx?c的对称轴
解：对任意t有
又∵其开口向上∴∴
f
(2)最小，
f
(1)=
f
(3)∵在［2，＋∞)上，
f(x)为增函数
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是
的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设∵∴
在条件中，令y＝－x，则（x）为奇函数，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不，即，∵当
，
，∴f（x）为增函数。
，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f
，∴
，
等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设
，∵当
，
即
，∴f（x）为单调增函数。
∵
， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3
。∴
，∴
，则
，∴
2、指数函数型抽象函数
， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入
。若f（x）＝0，则对任意
（2）令y＝x≠0，则
，使得，对任何x和y，
的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则
，∴
，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
，有
，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，
f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在（1）x＝1时，∵
，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数
，用数学归纳法证明如下：
，结论正确。 ；③f（2）＝4。同
，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴
（2）假设结论正确。
综上所述，x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数解：（1）∵（2
）即
的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。 ，∴f（1）＝0。
，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，求：
。 时有
，则x＝k＋1时，
，∴x＝k＋1时，
，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b
，从而
，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a
＋b）＝g（a）·g（b）。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是
的抽象函数，从而由
及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数
（这里把a看成进行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且
是定义域中的数时有
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1
）均小于零，进而知（0，2a）上f（x）是增函数。
中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在
又
＜x－2a＜2a，
，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2
－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3
）若
，求a的取值范围。
时，
。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
，
（3）∵f（27）＝9，又
∴，∴，∵，∴，
篇三：抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“f(x)”有关问题解法
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量
例1：已知 f(
表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u2?x?u,则x??1?解：设∴f(u)?2∴f(x)? x?11?u1?u1?u1?x
2.凑合法：在已知f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).
例2：已知f(x?)?x?
1
x
3
1
，求f(x) x3
2
解：∵f(x?)?(x?)(x?1?
1x1x111211)?(x?)((x?)?3)|x?|?|x|??1 又∵2xxxx|x|
∴f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知f(x)二次函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
解:设f(x)=ax?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
2
?2(a?c)?4
13?
?a?,b?1,c?∴=2ax2?2bx?2(a?c)?x2?2x?4比较系数得?2a?1
22?2b?2
?f(x)?
123x?x? 22
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴
f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴
?lg(1?x),x?0
f(x)??
?lg(1?x),x?0?
例5．一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?
1
， 求f(x),g(x). x?1
解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
1
???①中的x, x?111
∴f(?x)?g(?x)?即f(x)－g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
不妨用-x代换f(x)+g(x)=
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式
例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x) 解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1 ∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n 以上各式相加，有f(n)=1+2+3+??+n=二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性：
例7 已知f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
在①中令y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8：奇函数f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
2
解：由f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2)，∵f(x)为函数，∴f1(?m)?f(m1?)
n(n?1)1
∴f(x)?x(x?1),x?N 22
??1?1?m?1
?2
又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴??1?m?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目
例9：如果f(x)=ax?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 解：对任意t有f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax?bx?c的对称轴 又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，f(x)为增函数 ∴f(3)<f(4),∴f(2)<f(1)<f(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
2
2
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是究它的单调性。 解：设∵∴
在条件中，令y＝－x，则
，即，∵当
，
，∴f（x）为增函数。
，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，
，∴
，
的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研
故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意（x）＞2，f（3）＝5，求不等式
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f
的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设
，∴
，则
，
即
，∴f（x）为单调增函数。
∵
， 又∵f（3）＝5，∴f（1）
＝3。∴
3。
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在何x和y，
成立。求：
，使得
，对任
，∴
， 即
，解得不等式的解为－1 < a <
，∵当
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入
。若f（x）＝0，则对任意
≠0，∴f（0）＝1。
的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则
，有
，∴
，这与题设矛盾，∴f（x）
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即
f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②
③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在纳法证明如下： （1）x＝1时，∵结论正确。 （2）假设
∴x＝k＋1时，结论正确。 综上所述，x为一切自然数时
。 时有
，则x＝k＋1时，
，
，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴
，
，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数
，用数学归
；
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数解：（1）∵（2）即
的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
，∴f（1）＝0。
，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，求：
，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b
，从而
，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上
式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是
的抽象函数，从而由
及题设条件猜想：f（x）是奇函数且
在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
是定义域中的数时有
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
中的，于是f（x1）
又
设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，
，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜
x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0
，∵
，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，
当
时，
。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若
，求a的取值范围。
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