2012级量子力学期末考试试题和答案
A卷
一、简答与证明：（共25分）
1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）
3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
22
??i(px?xp)是厄密算符 （5分） xx4、证明
?x之间的测不准关系。5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p
（6分）
???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A二、（15分）已知厄密算符A,B，满足A
?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A
?的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A
3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）设氢原子在t?0时处于状态
111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222，求
?(r,0)?
??2和Lz的取值几率和平均值； 1、t?0时氢原子的E、L
??2和Lz的取值几率和平均值。2、t?0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符
?100??0C0?
???????030???C00?H
?00?2??00C????? 由下面的矩阵给出
??H?(0)?H??，C是一个常数，C??1，用微扰公式求能量至二级修这里，H
正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令S??Sx?iSy，S??Sx?iSy，分别求S?和S?作用于Sz的本征态
?
?1??0?11
???????????012??和2??的结果，并根据所得的结果说明S?和S?的重要性是什
么？
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：??Ae
i??
(p?r?Et)?
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
1
??1(q1)?2(q2)??1(q2)?2(q1)?2。
?A?
222
?x是厄密算符，所以????x[p?x,x]?i[p?x,x]p?x?2?p?x，因为pi(px?xp)i[p,x]?ipxxx4、=22
?x?xi(px?xp)是厄密算符。
?，k是一个算符或普通的数。以、和?的对易关系F??G?F?G??ik?和G5、设F
?和k在态?中的平均值，令 ?F??G??， ?、G??F??，?G依次表示F
2
)?)?(?G(?F
4，这个关系式称为测不准关系。 则有
2
2
?x之间的测不准关系为：坐标x和动量p
?x??x??p
?
2
?的本征值是?1，因为在A表象中，算符A??2?1，所以算符A二、解1、由于A
10??(A)????A???的矩阵是：?0?1? 的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符A
b11b12??(A)????B??bb?B??0得：??B?A?2122??，利用A设在A表象中算符B的矩阵是
0??0b12??0b12??b12b21
????????1??????b21b12??2?1，所以?b210??b210??0b11?b22?0；由于B，?0
?1
1??b12??b21；由于B?是厄密算符，B???B?，??b12
b12??
??0??0???b*
??12
1?*?b12??b?1
12*
0?b12?
i?
?在A表象中的矩阵表示式为：b?e12令，其中?为任意实常数，得B
0?(A)????i?B?e
?ei???0??
?0?A(B)???e?i?
??2、类似地，可求出在B表象中算符A的矩阵表示为：?0??i?
?的本征方程为：??e在B表象中算符A
ei??
?0??
?ei???ei???????????
????????????????????i???????0?????，即?e????
?????ei???0??i?
??e?????0?和?不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 ??e?i?
ei?
?0????2?1?0????1
?
A
1?ei??1?ei???
???????A????2?2?1?，对???1有：??1? 对??1有：
1?ei??1?ei??
????????的本征值是?1，本征函数为2?1?和2???1? 所以，在B表象中算符A
1?ei??1?ei??
????????的本征值是?1，本征函数为2?1?和2???1? 3、类似地，在A表象中算符B
?在A表象中的本征函数按列排从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B
1?ei?
?S?
2??1成的矩阵，即e?i??
??1??
(n?1,2,3?)
es21
En??
2a0n2
三、解： 已知氢原子的本征解为：
?nlm(r,?,?)?Rnl(r)Ylm(?,?)，将?(r,0)向氢原子的本征态展开，
??(r,0)1、=nlm
c210(0)?
cnlm(0)?nlm(r,?,?)
，不为零的展开系数只有三个，即
11c(0)??1c(0)?31021?1
2，2，显然，题中所给的状态并未归一2，
4
化，容易求出归一化常数为：5，于是归一化的展开系数为：
c210(0)?
1141
c310(0)???
255，2
W(E2,0)?
421
??c21?1(0)?55， 242
?55
（1）能量的取值几率平均值为：
?
1232
??W(E3,0)?555，5，
32
E2?E355
?2取值几率只有：W(2?2,0)?1，平均值L2?2?2 （2）L
?
（3）Lz的取值几率为：
W(0?,0)?
1232??2?W(??,0)???Lz555，5 5，平均值
i
c(0)?(r,?,?)exp(?Ent)?nlmnlm
?2、t?0时体系的波函数为：?(r,t)=nlm
ii
E2t)?c310(0)?310(r,?,?)exp(?E3t)??
12i2i?[210(r,?,?)?21?1(r,?,?)]exp(?E2t)?310(r,?,?)exp(?E3t)
55?5? ?[c210(0)?210(r,?,?)?c21?1(0)?21?1(r,?,?)]exp(?
??2和Lz皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，由于E、L
与t?0时的结果是一样的。
???I)?0?的本征值是方程det(H四、解：（1）H的根 ??C00?C3??0?(C?2??)(?2?4??3?C2)
00C?2??
2?的精确解。 结果：??C?2，??2??C，这是H
(0)(1)(2)
E?E?E?Ennnn（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：
??C ??0，H22??0，H33
由题设可知：能量的一级修正为：H11
?H21??H31?H12H13C20C2(2)
E1?(0)?(0)????(0)(0)
E?EE?E1?31?(?2)2 1213对于二级修正，有：
?H12??H32?H21H23C20C2(2)
E2?(0)?(0)???(0)(0)
E2?E1E2?E33?13?(?2)2
22?H13??H23?H31H32(2)CCE3?(0)?(0)?0E1?1?E2?3?(0)(0)
E3?E1E3?E22，2，E3??2?C 所以，
2
将??2??C展开：
113?C21?C22
??1?2，?2?2， (C??1)（3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。
111?1i?1S???Sx??iSy????i()??0
2222222五、解：，
??2??C2?2?(1?C2??)
1
2
S??
111?1?i?11?Sx??iSy????i()????22222222
111?1i?11S???Sx??iSy????i()????
22222222 111?1?i?1S???Sx??iSy????i()??0
2222222
所以S?和S?分别作用于Sz的本征态
S??
?
?1??0?11???????????2?0?和2?1?的结果是
111111
?0S?????S?????S???0222222，，，
结果表明：称S?为自旋升算符是合理的，因为它将z方向的自旋从??2增加到
?2。同样，称S?为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从?2降到?2。S?和S?容许我们从Sz的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。
B卷
一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
?和坐标x的共同本征函数。4、在一维情况下，求宇称算符P（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）
???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A二、（15分）已知厄密算符A,B，满足A
?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A
?的本征值和本征函数； 2、在A表象中算符B
3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）线性谐振子在t?0时处于状态
?(x,0)?
???12122
??xexp(??x)????2?33??，求 ，其中
1、在t?0时体系能量的取值几率和平均值。2、t?0时体系波函数和体系能量
的取值几率及平均值
四、（15分）当?为一小量时，利用微扰论求矩阵
?1
??2??0?
2?2??3?
0?
?3??3?2???的本征值至?的二次项，本征矢至?的一次项。
五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单
篇二：080910203量子力学I期末考题(A)答案
山东师范大学2014年期末考试试题(A)
答案及评分标准
（时间：120分钟共100分）
课程编号：080910203 课程名称：量子力学 适用年级：2011 学制:四年 适用专业：物理学、光电 试题类别： A
一、简答题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）
1、在体系所处的某一个状态中测量不同的力学量，其测值概率分布是否相同？试举例说明。 答：在体系所处的状态中测量不同的力学量其测值概率分布是不一样的。 （2分） 比如某状态中测量出的坐标概率分布与动量概率分布可用不同函数来表示。 （3分） （给出其它合适的例子同样给分） 2、试讨论：若两算符对易，是否在所有态下它们都同时有确定值。
答：对易算符可以有共同的本征态，在共同本征态下它们同时取确定值。 （3分） 但若所给定的态不是它们的共同本征态，在此态下两算符是不能同时取确定值的。比如
?2的本征态。（2分） ?2,s?1z的本征态，尽管[S?1z]?0，但它不是S?(1)?(2)是s
（不给例子，讨论合适也给分）
3、试述全同粒子的特点以及对波函数的要求。
答：全同粒子的特点：任意交换两个粒子的位置不影响体系的状态。（3分） 这个特点要求描述全同粒子的波函数对任意两个粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。 (2分) 4、使用狄拉克符号导出能量本征值方程在动量表象中的表示。
?2p
答：在坐标表象下的能量本征值方程为 (?V)|???E|?? （1分）
2??2p
方程两边取动量表象，有 ?p||????p|V|???E?p|?? （1分）
2?
令?(p)??p|??，并加入完备性关系dp'|p'??p'|，并利用|p?动量算符属于本征值p的本征函数，有（1分）
?
p2
?(p)??dp'?p|V|p'??p'|???E?(p) 2?
p2
即 ?(p)??dp'Vpp'?(p')?E?(p)（2分）
2?
（从松处理，如果写的是含时薛定谔方程的动量表象，只扣1分）
5、以?和?分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
|11???(1)?(2)
答：自旋三重态三个： |1?1???(1)?(2)
（3分）
|10??
1
12
[?(1)?(2)??(2)?(1)]
自旋单重态一个: |00??
2
[?(1)?(2)??(2)?(1)] （2分）
（后面两个写得正确，给3分）
二、证明题（本题共3小题，每小题10分，共30分）
1、证明在定态下，任意不显含时间t力学量A的取值概率分布不随时间改变。 证明：设在定态|?n?e
i
?Ent?
下，不显含时间的力学量A属于本征值ak的本征函数为|ak?，
则有 （2分）
|?n?e
i
?Ent?
??ck(t)|ak? （2分）
ki?Ent?
两边同|al?作内积，有 ?al|?n?e
??ck(t)?al|ak? （2分）
k
即?al|?n?e
i?Ent?
??ck(t)?lk?cl(t) （2分）
k
所以取值ak的概率分布是 |ck(t)|2?|?ak|?n?|2，显然不随时间改变。（2分） （用对时间求导的方法做，推证正确，不扣分）
2、已知在坐标表象下动量算符属于本征值p的本征函数为?x|p??
12??
e
i
px?
，试证明x
?算符的矩阵元是(p)x'x"??i?表象中p
证明：根据题意，有
?
?(x'?x")。 ?x'
(p)x'x"??x'|p|x''??
??dp'dp''?x'|p'??
i
p'|p|p''??p''|x''? （2分）
i
p'x'?p''x''1?
?dp'dp''ep'?(p'?p'')e? （2分） ??2??
p'(x'?x'')1??dp'ep' （2分） ?2??
i
p'(x'?x'')1???? （2分） ???i???dp'e
2????x'?
i
p(x?x')1?利用?函数的定义?(x?x')?edp，有?2????
?i
(p)x'x"??i?
?
?(x'?x'')。 （2分） ?x'
3、证明在氢原子的任何定态?nlm(r,?,?)中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即
?2/2??nlm??En。 ?p
证明： 根据位力定理，对于库仑势场，??2（2分）
??V?H? 对于氢原子来说，由哈密顿的表达式 T
两边取平均值，有??En （4分） 前式代入，得 ??En （2分）
?2/2??nlm??En（2分） 即 ?p
三、计算题（本题共3小题，每小题15分，共45分） 1、已知在sz表象中，sx?
??01?
???，求： 102???
(1) sx的本征值和所属本征函数；
(2) sz表象到sx表象的变换矩阵（即将sx对角化的变换矩阵）。 解：（1）令本征值为?，相应的本征矢为
??????， 则有
?a?
?b?
?a??01??a??a???01??a??
????????????????'?'?，令 ，得 ????????????（2分） b10bb?/22?10??b?????????
解久期方程
??'1
?0得?'??1（2分）
1??'
将 ?'?1 代入本征值方程可得 a?b， 利用归一化条件|a|2?|b|2?1可得
??
1?1???1?? （2分） 2??
同理对于?'??1，归一化本征函数 ??以上俩本征矢量分别隶属于sx的本征值?
1?1????1?? （2分） 2??
?
。 （1分） 2
1?11??按照本征值次序排列本征矢量，得变换矩阵T??1?1?? （3分） 2??
利用此变换矩阵可以将sx变换到自身表象从而实现对角化：
TsxT??
1?11???01?1?11???10?
???1?1??2??10???1?1???2??0?1??（3分） 2????2????
（如果只对?x求本征值和本征函数，不扣分）
?
2、设有一个定域电子，受到沿y方向均匀磁场B的作用，Hamiltonian量（不考虑轨道运动）??表为H
值。
解：在sz表象下写出哈密顿算符的矩阵形式为H? 其本征值和相应的本征函数为（令??
eBeB??
?的平均?y??y。设t?0时电子自旋“向上”s?（sz?），求t?0时s
mc2mc2
eB??0?i?
??（1分） ??2mc?i0?
eB） 2mc
eB?1?1?eB?1?1?
?? E1????,????i?? 及 E2??2mc????,?????i??（3分）2mc2??2??
则任意t时刻的态矢可以写为 |?(t)??c1e
i?t
???c2e?i?t??
显然在t=0时，利用初始条件有 |?(0)??c1???c2???? （2分）
?1?1
所以可得出c1???? ?1?i???0???
22??
?
?
1
c2?????
?
12
??1i???
1?1?（2分） ??
2?0?
1?i?t1?1??i?t1?1??
?e??于是|?(t)?? ?i???e??i?????2?2??2???
1?i?t?1??i?t?1???cos?t?
?????? （3分） ??e??e?????????2??i???i????sin?t?
所以 ?sx????(t)|sx|?(t)?
??01??cos?t??
?????cos?t?sin?t????sin2?t ????2?10???sin?t?2
?
(|c1ei?t|2?|c2e?i?t|2)?0 2??22
?sz??(cos?t?sin?t)?cos2?t （4分）
22
?'?Acos2?x(0?x?a)的作用，其3、一维无限深势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰H
a
?sy??
中A为常数。求第一激发态能量的二级近似与波函数的一级近似。 解：利用非简并微扰中激发态能量的二级近似与波函数的一级近似公式
E2?E
(0)2
|H'm2|2
?H'22??(0)
(0)
m?2E2?EmH'm2(0)
m(0)(0)
m?2E2?Em
（2分）
(0)
?2??2??
式中E
(0)
m
?2m?xm2?2?2?sin,(0)
?,???maa2?a2
??0
0?x?ax?0,x?a
（2分）
但H'm2?
??
*(0)
m
?'?H
(0)
2
2Am?x2?x2?xdx?sincossindx ?a0aaa
a
a
Am?x4?xA*(0)(0)A
??sinsindx???m?4dx??m4 （3分） a0aa202
4?2?2AA2
所以E2???24?2
242?a
|?m4|24?2?2A21
???(0)(0)2(0)(0)
4E2?E42?am?2E2?Em
a
2?2?2A2?a2
（3分） ??
?a224?2?2
对于波函数，当0<x<a时，
(0)
?2??2?
H'm2?m422?xA(0)(0)
??sin????mm(0)(0)(0)(0)
aa2m?1E2?Emm?2E2?Em
24?x
sin
aa
22?xA122?xA?a2(0)
?sin??4?sin?(0)(0)
aa2E2aa26?2?2?E4
?
2?2?xA?a24?x???（3分） sin?sin22??a?a12??a?
篇三：量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目
一、填空题：
1、 2、 |Ψ（r,t）|^2的物理意义： 3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 4、 两个力学量对应的算符 二、简答题：
1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？
答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？
答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
1
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。
1
、
2
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对r?r0的区域有影响，对r?r0的区域无影响。据题意知
H???U(r)?U0
(r) 其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即U（??ze20r）
4??
0r
U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r?r0区域，
U(r)??Ze2 4??r
0在r?r0区域，U(r)可由下式得出， U(r)??e??
rEd r
??1
E??4??r2?Ze4?4?r3?Ze3r, ( r ?r0) ?0?r3034??0r0
?? Ze?4??r2
(r ? r 0)0 U(r)??e?r0
Edr?e??
r
rEdr
??
Ze2
r0
?
Ze2
?
4??3
0r0?
r
rdr4???1
r0r2dr ??Ze2Ze2Ze22222
8??3(r0?r)?0r04??r??8??3
(3r0?r) 000r0
?Ze2H???U(r)?U??3(3r22
Ze20?r)? (r?r0)0(r)??8???0r04??0r?
0( r ? r0 )
3
(r?r0)
????H?(0)????2?U(r)，可视为一种微扰，由它引起 由于r0很小，所以H0
2
2?
3Z
一级修正为（基态?(0)
?(Z1/2?ar
100
0?a3)e） 0
E(1)(0)*
???(0)1???1H1
d? ?
Z3
2Z
?r0
[?Ze2Ze2?a?a3
?
8??(3r22
er00?r)?]4?r23
dr 0r0
4??0r?
2Z ∵arr??a0
0，故e?1。
∴ E
(1)
Z41
?e2
?r40
3r22
4
Ze2
2??33
r?r)dr?0a0r0
?
(??a3
00
?
r0
rd r
??Z4e25
r50Z4e222??a33(r0?)?3r0
00r052??0a0?Z4e22
10??a3r0
00 ?2Z4 e2 s2
5a3
r0 0
第三题 6.2 求自旋角动量在任意方向n(cos?,cos?,cos?)的投影 的本征值和本征函数。
解：在S?z 表象，S?n的矩阵元为 01???0?i? S?n???2????cos????i0??cos?????10??0? ?10?2??2?1???cos? ?cos?cos??icos?? S?
n?2???cos??icos??cos???其相应的久期方程： ?
?2cos????2
(cos??icos?)
?
(cos??icos4
?0
2
?)??
2
cos???S?n
即：
?2?2?222222 ??cos??(cos??cos?)?0???0444
222
(利用cos??cos??cos??1)
?
???
2 ?的本征值为??。 所以Sn
2 ?a??
?S?设对应于的本征函数的矩阵表示为，?1(Sn)??n?? 2?b?
cos?cos??icos???a???a????a(cos??icos?)?bc则 ??????? ???????cos?2?cos??icos???b?2?b? cos??icos?
b? 1?cos?
22?**?a???1????(a,b)?a?b11
?b?由归一化条件得： ??2
cos??icos?2222
a?a?1a?1
1?cos?1?cos? ?coscos??icos?
取
，得a?b? 22(1?cos?)
? ??? ???(S)
?1n 2
0?
??1(Sn)? 1??
?1
?2
?
同理可求得对应于Sn??的本征函数为
2
??1?cos??
2???1(Sn)?? ?cos??icos??
???
2(1?cos?)??
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《量子力学期末考试题解答题》出自：百味书屋
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