全国高中数学联赛模拟试题(十)
第一试
一、选择题：(每小题6分，共36分)
1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是
(A)45 (B)27 (C)15 (D)11
2、已知sin2q=a，cos2q=b，0<q< ，给出 值的五个答案：
① ; ② ; ③ ; ④ ;
⑤ .
其中正确的是：
(A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤
3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
(A)64 (B)66 (C)68 (D)70
4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为
(A)729 (B)972 (C)243 (D)981
5、 (其中 ，[x]表示不超过x的最大整数)的值为
(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数 称为“凸”数，当且仅当它满足a<b<c，c>d>e(如12430，13531等)，则在所有的五位数中“凸”数的个数是
(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134
二、填空题：(每小题9分，共54分)
1、过椭圆 上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足)，并延长PH到Q，使得HQ=lPH(l≥1).当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 .
2、已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角a(0<a<90°)的直线l，则这样的直线l的条数是f(a)= .
3、不等式 的解集为 .
4、设复数z满足条件|z-i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数w使得 为实数，则复数w-2的辐角主值的取值范围是 .
5、设a1,a2,…,a2002均为正实数，且 ，则a1a2…a2002的最小值是 .
6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码(如12883，787480889等)，否则称它为“非优选”数码(如2348756，958288等)，则长度不超过n(n为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为 .
三、(20分)
已知数列{an}是首项为2，公比为 的等比数列，且前n项和为Sn.
(1) 用Sn表示Sn+1;
(2) 是否存在自然数c和k，使得 >2成立.
四、(20分)
设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.
五、(20分)
已知定义在R+上的函数f(x)满足
(i)对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b);
(ii)当x>1时，f(x)<0;
(iii)f(3)=-1.
现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)|f( )+ =0，p、q∈R+}.试问是否存在p、q，使 ，说明理由.
第二试
一、(50分)
如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若 ，求证：∠POQ=60°.
M
A
P
Q
N
L
O
二、(50分)
已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an(n≥1).求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数.
三、(50分)
设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数：
(1) 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点;
(2) 三角形的内心是坐标原点.
参考答案
第一试
一、选择题：
题号123456
答案ACBDDB
二、填空题：
1、 ; 2、 ;
3、 ; 4、 ;
5、40022002; 6、 .
三、(1) ; (2)不存在.
四、 .
五、不存在.
第二试
一、证略;
二、n=3.
三、 p≠2,7,11,13时，324个;p=2时，162个;p=7,11,13时，180个.
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