篇一：数学建模logistic人口增长模型
Logistic人口发展模型
一、题目描述
建立Logistic人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测
的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1各年份全国总人口数（单位：千万）
二、建立模型
阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)。则它应是减函数。于是有：
dx
?r(x)x,x(0)?x0
dt
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即 r(x)?r?sx
（1）
(r?0,s?0)
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量长率
xm，当x?xm时人口不再增长，即增
r(xm)?0，代入（2）式得
s?
r
xm，于是（2）式为
x)xm
（3）
r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：
x?dx
??rx(1?)
xm?dt
?x(0)?x0
?
解得：
（4）
x(t)?
1?(
xmxm
?1)e?rtx0
（5）
三、模型求解
用Matlab求解，程序如下： t=1954:1:2005;
x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];
x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);
r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm和r
x0=61.5;
f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');
title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)
解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5
得到1954-2005实际人口与理论值的结果：
根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将达到16亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。
按此预测，总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右（见图1）。劳动年龄人口规模庞大。我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将达到高峰10.1亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。
而据模型求解：
2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7% 2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3% 2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8% 2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1%
五、预测
1. 1954-2005总人口数据建立模型：
r=0.0327xm=180.9516
2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7% 2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3% 2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8% 2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1% 2. 1963-2005总人口数据建立模型：
r=0.0493 xm=150.5261
2010年人口：x(2010)= 134.1612（千万） 专家预测13.6亿 误差为1.4% 2020年人口：x(2020)= 140.0873（千万） 专家预测14.5亿 误差为
3.4%
2033年人口：x(2033)= 144.8390（千万） 专家预测 15亿 误差为3.4% 2045年人口：x(2045)= 147.3240（千万） 专家预测 16亿 误差为7.6% 3.1980-2005总人口数据建立模型：
r=0.0441xm=156.3297
2010年人口：x(2010)= 135.2885（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.5% 2020年人口：x(2020)= 142.1083（千万） 专家预测14.5亿 误差为2.0% 2033年人口：x(2033)= 147.9815（千万） 专家预测 15亿 误差为1.3% 2045年人口：x(2045)= 151.3011（千万） 专家预测 16亿 误差为5.4%
总体来看，1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。从历史原因来分析：1954年之后的1959-1961年间，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇。1960年之后为过渡时期。1983年之后开始实施“计划生育政策”，一直至今，所以1980-2005年间的数据与预测分析最好。
篇二：人口增长模型
Logistic人口阻滞增长模型
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)。则它应是减函数。于是有：
dx
?r(x)x,x(0)?x0dt
（1）
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即 r(x)?r?sx
(r?0,s?0)
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，当x?xm时人口不再增长，即
r
增长率r(xm)?0，代入（2）式得s?，于是（2）式为
xm
r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：
x?dx
??rx(1?)
?dtxm
??x(0)?x0
x
)xm
（3）
（4）
解方程（4）可得：
x(t)?
xm
x
1?(m?1)e?rt
x0
（5）
二、模型的建立
我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1
1、将1954年看成初始时刻即t?0，则1955为t?1，以次类推，以2005年为t?51作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程得到相关的参数xm? 180.9871,r?-0.0336，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
5
R2?1?
?(y
i?1
5i?1
i
?i)2?y
?0.9959
i
?(y
?)2
由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲
线：
180.
9871
（6）
180.98711?(?1)e?0.0.0336t
60.2
根据曲线（6）我们可以对2010年（t?56）、2020年（t?66）、及2033年（t?79） 进行预测得（单位：千万）：
x(56)?138.6161,x(66)?148.5400,x(79)?158.6028
结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
程序：
x(t)?
结果：
2、 将1963年看成初始时刻即t?0，以2005年为t?32作为终时刻。运用Matlab编程得到相关的参数xm? 151.4513可以算出可决系数R2?0.9994得到中国,r? 0.0484，各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
151.4513
（7）
151.45131?(?1)e?0.0484t
69.1
根据曲线（7）我们可以对2010年（t?47）、2020年（t?57）、及2033年（t?70） 进行预测得（单位：千万）：
x(47)? 134.9190,x(57)?140.8168,x(70)? 145.5908
结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
程序：
x(t)?
结果：
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab编程得到相关的参数xm? 153.5351可以算出可决系数R2?0.9987得到中国各年,r? 0.0477，份人口变化趋势的第三条拟合曲线：
153.5351
（8）
153.53511?(?1)e?0.0477t
98.705
根据曲线（7）我们可以对2010年（t?30）、2020年（t?40）、及2033年（t?53） 进行预测得（单位：千万）：x(30)? 135.5357 ,x(40)? 141.8440,x(53)? 147.0172
结果分析：这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以结果应是比较可信的。
程序：
x(t)?
结果：
篇三：人口增长模型
人口增长模型
摘要
本文主要根据某地区的人口统计数据，通过合理的假设 和严密的分析来建立模型，和估计该地区2010年的人口数量，并对其做出相应的分析。
首先，我们利用Matlab软件画出该地区1800至2000年的人口数据图，通过直观观察人口的变化规律后，我们认为该地区的人口数据呈现类似线性增长和指数增长，于是我们分别建立线性增长模型和指数增长模型，在假设人口增长率保持不变的前提下，用最小二乘法对数据进行拟合，最后得出2010年的人口预报数：线性时为283.114百万，指数时为374.789百万。
但实际上人口增长率是不断地变化着的，即人口增长率不可能是一个常数，所以我们建立的线性增长模型和指数增长模型都比较粗糙，不能描述和预测较长时间人口变化过程。而且从该地区历年的人口数据描述图可看出，从1980年开始，该地区的人口增长明显变慢，即人口增长受到一定的阻滞，所以为了更好地符合实际情况，以及更好地预报出长期的人口数，我们再建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为295.368百万。
关键字
人口预报，线性增长模型，指数增长模型，阻滞增长模型（Logistic模型）
问题重述
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口 （单位：百万），同时画出拟合效果的图形。
模型假设
1、该地区历年的人口统计记录数据准确无误；
2、在模型一、二中，假设人口增长率不变，是一个常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比。；
符号说明
x(t) t时刻的人口数量
x0 初始时刻的人口数量
r人口增长率
xm 环境所能容纳的最大人口数量，即r(xm)?0
模型分析
首先，我们运用Matlab软件编程（见附件1），把1800年到2000年的人口数据通过绘图描点如下图
图1 1800年到2000年的人口数据图
从图我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且图像呈现类似线性函数和指数函数，于是我们猜测人口增长随时间的变化规律为线性函数或指数函数，所以我们分别用两种函数建立线性增长模型和指数增长模型，用最小二乘法对数据进行拟合，确定其中的未知参数。
然而上述两种模型都是在假设人口增长率不变的前提下建立的，比较粗糙，但在现实生活中，我们知道人口增长率是不可能不固定不变的，也就是人口不可能无限增长，无限增长将会导致人口爆炸，而政府对这种情形不可能置之不理的，
也就是说政府对人口无限增长会采取相应的措施，所以但人口增长到一定的程度下，人口增长率将会随人口的增长而呈线性递减，而且考虑到自然资源、环境条件等因素都会对人口增长起阻滞作用，并且随着人口增加，阻滞作用越来越大。因此，我们改进了模型，建立了阻滞增长模型。
模型建立
模型一：线性增长模型
首先，我们假设满足线性关系 x(t)?at?b ，根据最小二乘法，a和b是以下函数的最小值：
E(a,b)?n?(ati?b?xi)2，其中xi是ti时刻该地区的人口数。
i?1
即有
E?(a,b)?(a.1800?b?7.2)2?(a.1810?b?13.8)2?...?(a.2000?b?280.3)2 ?E?E?0,?0，可解得a和b。 ?a?b
我们用Matlab编程（见附件2），解得a=1.5，b=-2755.3 令
故 x(t)?1.5t?2755.3
然后用该方程对1800年到2000年的人口数据进行拟合，拟合的效果图如下：
从上图可以看出拟合的效果不是很好，模型比较粗糙，所以我们有必要建立其他的模型进行预测。但对于后期的人口拟合得还是可以的，用这线性增长模型
预报出x(2010)?1.5*2010?2755.3?283.1148百万。
模型二：指数增长模型
由于今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则有xk?x0(1?r)k。 则在t到t+?t时间内的人口增量为x(t??t)?x(t)?rx(t)?t
上式两边同时除以?t得：
x(t??t)?x(t)?rx(t) ?t
令?t?0，取极限得到x(t)满足的微分方程为
dx?rx(t) dt
于是我们得到一个指数增长的人口模型为
?dx??rx(t) ?dt??x(0)?x0
解这个方程得到
x(t)?x0ert （2）
然后，我们利用数据拟合（程序见附件3）
，效果
图3 指数增长模型的拟合图
注：*号为准确值，曲线为计算结果
从图3可以看出，拟合效果还好，但到了后期时段时，该地区人口增长明显变慢，这个明显就不适合了，拟合效果就不那么好了，说明该地区的人口增长率时随着人口的增长而递减的，有一定的阻滞使人口增长得不如前那么快，此模型还是有点粗糙，所以我们要对模型进行进一步的改进。
用该地区的数据拟合（2）式，可解得r =5.94e-007 年，x0=1e-006，然后
)?374.789百万。 把它们代进模型，我们可算得x(2010
结果分析
用此模型基本是上能够描述1980年以前的人口增长，但我们从指数增长模型的拟合图可以看出，此模型对1980年以后的数据就拟合得不是很好，从1980年后，该地区的人口增长明显变慢，所以用此模型对2010年的人口进行预报不是那么适合，结果存在一定的误差，从图3可以看出所得的结果并不准确，精度不高。
模型三：阻滞增长模型
随着人口的增加，人口的增长速度会降低，所以我们假设人口数的减函数为
r(x)?r-sx
人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数xm，当x?xm时，增长率为0， 即有 r?sxm?0
由上面的关系式可得出：
?x?r(x)?r?1??x?? （3）
m??
把(3)式代进指数增长模型的微分方程中可以得到：
?dx?x????r1?x????dt?xm?
?x(0)?x0?
解得 x(t)?xm
?xm??rt?1???1?x?e?0? （4）
把x(1800)?7.2代进(4)式得 x(t)?xm
?10xm?1???1?e?r(t?1800)
?132?
《人口增长模型》出自：百味书屋
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