篇一：2015年全国各省函数导数高考题汇编
2015年函数导数高考试题汇编
全国卷1理
1，设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a
的取值范围是
333333
A.?－，1?B. ?－? C. ? D. ?，1? ?2e??2e4??2e4?2e?2，若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a.
全国卷1文
?2x?1?2,x?1
1，已知函数f(x)?? ，
??log2(x?1),x?1
且f(a)??3，则f(6?a)? （A）?
7531 （B）?（C）?（D）? 4444
x?a
2，、设函数y?f(x)的图像与y?2的图像关于直线y??x对称，且
f(?2)?f(?4)?1，则a?( )
（A） ?1（B）1（C）2 （D）4 3，.已知函数f
?x??
3
ax?x?1的图像在点?1,f?1??的处的切线过点?2,7?，则
a?.
全国卷2理
?1?log2(2?x),x＜1,
1，设函数f(x)=?x?1，则f (－2)+ f (log212) =
?2,x?1 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12
2，.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)－f (x)
＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是
(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) (C) (－∞，－1)∪(－1，0)(D) (0，1)∪(1，＋∞)
全国卷2文
1
，则使得f(x)?f(2x?1)成立的x的取值范围是 2
1?x
11
A. (,1)B. (??,)U(1,??)
33
1，设函数f(x)?ln(1?|x|)?
C. (?,) D. (??,?)U(,??)2，已知函数f(x)?ax3?2x的图象过点(?1,4)，则a?3，已知曲线y?x?lnx在点(1,1)处的切线与曲线y?ax2?(a?2)x?1相切，则
11331313
a?北京理
?2x?a?x?1??
设函数f?x???
??4?x?a??x?2a??x≥1.
①若a?1，则f?x?的最小值为
．
②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是 北京文
1，下列函数中为偶函数的是（）.
A.y?xsinx B. y?xcosxC. y?lnxD. y?2,
?3
22?x
2，2， 3，log25三个数中最大数的是. 天津理
已知定义在R 上的函数f?x??2
x?m
12
?1 （m 为实数）为偶函数，记
a?log0.53,b?f?log25?,c?f?2m? ，则a,b,c 的大小关系为
（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a
??2?x,x?2,
（8）已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R ，若2
???x?2?,x?2,
函数y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是
（A）?天津文
7??7??7??7??
,??? （B）???,? （C）?0,?（D）?,2?
4??4??4??4??
ì?2-|x|,x?2
1，已知函数f(x)=í，函数g(x)=3-f(2-x)，则函数y=f(x)-g(x)的2
(x-2),x>2??
零点的个数为
(A) 2(B) 3(C)4 (D)5
2，已知函数f?x??axlnx,x??0,??? ，其中a为实数，f??x?为f?x?的导函数，若
f??1??3 ，则a的值为．
3，已知a?0,b?0,ab?8, 则当a的值为时，log2a?log2?2b?取得最大值。 重庆文
1，.函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是 (A) [-3,1] (B) (-3,1)
(C) (??,?3]?[1,??) (D) (??,?3)?(1,??) 四川理
1，如果函数f?x??mn的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25（D）
x
2
1?1?
n?0?在区间?，则2?单调递减，?m?2?x2??n?8?x?1?m?0，
22??
81
2
2，已知函数f(x)?2，g(x)?x?ax（其中a?R）。对于不相等的实数x1,x2，设
m?
f(x1)?f(x2)g(x1)?g(x2)
，n?，
x1?x2x1?x2
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数x1,x2，都有m?0；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n?0； （3）对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m?n； （4）对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m??n。 安徽理
下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A．y?cosxB．y?sinx C．y?lnx D．y?x?1
2
函数f(x)=
ax?b
(x?c)2
的图像如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a?0,b?o,c?oB．a?0,b?o,c?o C．a?0,b?o,c?oD． a?0,b?o,c?o
已知函数f(x)=Asin（A，?，?均为正的常数）的最小正周期为?，当x?（?x??）时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是（） A．f(2)＜f(-2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(-2) C．f(?2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(-2)
3
设x?ax?b?0 ，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根
2?3
的是_________。（写出所有正确条件的编号） ①a??3,b??3 ②a??3,b?2 ③a??3,b?2 ④a?0,b?2 ⑤a?1,b?2 安徽文
10.数f?x??ax?bx?cx?d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）
3
2
（A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0 （C）a<0，b<0，c<0，d
>0
第（10）题图
（D）a>0，b>0，c>0，d<0
51
lg+2lg2-()-1。 22安徽文
在平面直角坐标系xOy中，若直线y?2a与函数y?|x?a|?1的图像只有一个交点，则a的值为 。 浙江理
如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)， fn+1 (x)＝f [fn(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为 A
C．
2 则f(f 的解是．
?x,x≥0.??
浙江文
函数f(x)=(x－)cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为
log3?log43
? 计算：log2?22
2
??x, x?1,
已知函数f(x)=?，则f(f(－2))= ，f(x)的最小值是
x??6,x?1,?x?
福建理
下列函数为奇函数的是 A.y?
B.y?sinx C.y?cosx D.y?ex?e?x
篇二：导数高考题汇编
2009全国高考题汇编
1.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数
f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)．
（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是
?3，求a,b的值；
（II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调．．．，求a的取值范围． 2.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数f(x)?1
3
ax3?bx2?x?3,其中a?0
（1） 当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
（2） 已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示
出b的取值范围.
3.设函数f(x)?1
x3?(1?a)x23
?4ax?24a，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
4.（2009江西卷文）（本小题满分12分）
设函数f(x)?x3?9
2
x2?6x?a．
（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．5.（2009四川卷文）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式；
（II）设函数g(x)?f(x)?1
3
mx，若g(x)的极值存在，求实数
m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值. 6.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x3?bx2?cx的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若f(x)在x?t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。
7.（2009陕西卷文）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x3?3ax?1,a?0
???求f(x)的单调区间；
????若f(x)在x??1处取得极值，直线
y=my与y?f(x)的图
象有三个不同的交点，求m的取值范围。 8.（2009天津卷理）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(x2
?ax?2a2
?3a)ex
(x?R),其中a?R
（1） 当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线
的斜率；
（2） 当a?2
3
时，求函数f(x)的单调区间与极值。
9.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知f(x)?x2?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5)，
g(x)?(x?a)f(x)．
（Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间．
2011高考试题汇编——函数与导数
1. [2011·陕西卷文] 设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f'(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g??1??x??
的
大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1
a 对任意x＞0成立． 2.[2011·天津卷理] 已知a>0，函数f(x)＝lnx－ax2，x>0(f(x)的图象连续不断)．
(1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝1
8x0∈(2，
＋∞)，使 f(x0)＝f ??3?
?2??
；
(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明ln3－ln2ln25a≤
33.[2011·天津卷文] 已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当t≠0时，求f(x)的单调区间；
(3)证明：对任意t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点． 4.[2011·重庆卷理] 设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)e－
x，求函数g(x)的最值．
5.[2011·重庆卷文] 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－1
2对称，且f′(1)＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值． 6.[2011·四川卷文] 已知函数f(x)＝21
3x＋2，h(x)＝x.
(1)设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
(2)设a∈R，解关于x的方程lg??3
3?2?x－1?－4?＝2lgh(a－x)－
2lgh(4－x)；
(3)设n∈N*，证明：f(n)h(n)－[h(1)＋h(2)＋…＋h(n)]≥1
6
21
7.[2011·四川卷理] 已知函数f(x)＝3＋2h(x)＝x. (1)设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值； 3?3
(2)设a∈R，解关于x的方程log4?2?x－1?－4＝log2h(a－x)－
??log2h(4－x)；
1
(3)试比较f(100)h(100)－∑h(k)与k＝16
100
3.【2012高考真题陕西理7】设函数f(x)?xex，则（ ） A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点
C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点[学
【答案】D.
4.【2012高考真题辽宁理12】若x?[0,??)，则下列不等式恒成立的是 (A)8.[2011·浙江卷理] 设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R. 注：e为自然对数的底数．
(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；
ex?1?x?x2
(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．
9.[2011·湖北卷理]
(1)已知函数f(x)＝lnx－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值；
(2)设ak，bk(k＝1,2，…，n)均为正数，证明：
①若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，则
ab1bb1?a22
?a33...a.bnn.≤..1；
②若b11＋b2＋…＋bn＝1，则nbbb11?b22
?bb33.......bbnn≤b21＋b22＋…＋b2n.
2012高考真题分类汇编：导数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理8】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f,(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图像如题（8）图所示，
则下列结论中一定成立的是
（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
（B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 【答案】D
2.【2012高考真题新课标理12】设点P在曲线y?
12
ex
上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ最小值为（ ）
(A)1?ln2(B
)
?ln2)(C) 1?ln2 (D)
(1?ln 2)
【答案】B
?1?12x?1
4x2
(C)
cosx…1?
12
x2
(D)ln(1?x)…x?1
8
x2 【答案】C
5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数y?f(x)的图象如图
所示，则它与x轴所围图形为
A．2π
4
3
5
B．3
C．
2
D．π2
【答案】B
6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 【答案】A 二、填空题
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距
离，则实数a=_______。
【答案】
94
8.【2012高考真题江西理
11】计算定积分
?
1
?1
(x2?sinx)dx?___________。
【答案】
23
【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。。
9.【2012高考真题山东理15】设a?0.
若曲线y?x?a,y?0所围成封闭图形的面积为a2，则a?______.
【答案】a?
4
9
10.
【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
【答案】2x?y?1?0
11.【2012高考真题上海理13】已知函数y?f(x)的图象是折
1
线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)，函数y?xf(x)
2
（0?x?1）的图象与x轴围成的图形的面积为。
5
【答案】
4
已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；
?，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零（3）设h(x)?f(f(x))c
?lnx,x?0
12.【2012高考真题陕西理14】设函数f(x)??，
??2x?1,x?0
D是由x轴和曲线y?f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z?x?2y在D上的最大值为 . 点个数
21.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)
设f(x)?ln(x?1)ax?b(a,b?R,a,b为常数)，曲线
【答案】2． 三、解答题
13.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分)
y?f(x)与
已知函数f(x)?lnx?k
ex（k为常数，e?2.71828???是自然对数
直线y?
3
2
x在(0，0)点相切。的底数），曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求a,b的值。
（Ⅰ）求k的值；
(Ⅱ)证明：当0?x?2时，（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)?(x2?x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2.
14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）
设f(x)?aex?1
ae
x?b(a?0)。
（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；
（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?3
2
x；求a,b的值。
16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]. （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围. 17.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）
18.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）
已知函数f(x)满足满足f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?1
x22
；
（1）求f(x)的解析式及单调区间；
（2）若f(x)?
12
x2
?ax?b，求(a?1)b的最大值. 19.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）
已知函数f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0，其中a?0. （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的x?[0,??),有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值；
n
（Ⅲ）证明?
2
2i?1
?ln(2n?1)?2（n?N*）. i?120.【2012高考江苏18】（16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。
f(x)?9x
x?6
。
篇三：函数导数高考题汇编答案
1.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)． （I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．解析：（Ⅰ）由题意得f?(x)?3x2?2(1?a)x?a(a?2) 又?
Ⅱ）由f'(x)?0,得x1?a,x2??又f(x)在(?1,1)上不单调,即
f(0)?b?0
，解得b?0，a??3或a?1
??f(0)??a(a?2)??3?
a?2
3
a?2?
a?2??1???1?a????3
3或??
?a??a?2???1?a?1?3?
??1?a?1??5?a?1
??解得?或?11
a??a?????2?2
所以a的取值范围是(?5,?)?(?
2.(2009山东卷文)（本小题满分12分） 已知函数f(x)?
1
21,1). 2
13
ax?bx2?x?3,其中a?0 3
（1） 当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
（2） 已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
2
解: (1)由已知得f'(x)?ax?2bx?1,令f'(x)?0,得ax?2bx?1?0,
2
f(x)要取得极值,方程ax2?2bx?1?0必须有解,
所以△?4b?4a?0,即b?a,此时方程ax?2bx?1?0的根为
2
2
2
x2?, x1??
?
所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2)
当a?0时,
所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当a?0时,
所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b?a时, f(x)取得极值.
2
2
(2)
要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax?2bx?1?0在(0,1]上恒成立.
ax1ax1
?,x?(0,1]恒成立,
所以b?(??)max 22x22x
1a(x2
?)
ax1a1, ?设g(x)??,g'(x)???2?222x22x2x
即b??
令g'(x)?
0得x?
或x?(
舍去),
当a?1时,0?
1ax1?1,当x?时g'(x)
?0,g(x)???单调增函数; a
22x当x?ax1时g'(x)?0,g(x)???单调减函数,
22x所以当x?
?时,g(x)取得最大,最大值为g所以b?当0?a?1时,
ax1?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)???在区间(0,1]上单
22xa?1a?1
,所以b?? 22
调递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??
综上,当a?1时
, b?当0?a?1时, b??
a?1
2
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
3.设函数f(x)?
13
x?(1?a)x2?4ax?24a，其中常数a>1 3
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解： （I）f?(x)?x2?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)
由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数；当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数；当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。
综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。
（II）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。
1
(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a 3432
??a?4a?24a
3
f(2a)? f(0)?24a 由假设知
?a?1,
?a?1?4??
?f(2a)?0, 即??a(a?3)(a?6)?0, 解得 1<a<6 ?f(0)?0,?3???24a?0.故a的取值范围是（1，6）
4.（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数f(x)?x?
3
92
x?6x?a． 2
（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
解：(1) f'(x)?3x2?9x?6?3(x?1)(x?2),
因为x?(??,??),f'(x)?m, 即 3x2?9x?(6?m)?0恒成立,所以 ??81?12(6?m)?0, 得m??
33，即m的最大值为? 44
(2) 因为 当x?1时, f'(x)?0;当1?x?2时, f'(x)?0;当x?2时, f'(x)?0; 所以 当x?1时,f(x)取极大值 f(1)?
5
?a; 2
当x?2时,f(x)取极小值 f(2)?2?a;
故当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0仅有一个实根. 解得 a?2或a?5.（2009四川卷文）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?
5
. 2
1
mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得3
极值时对应的自变量x的值.
【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0……① 又f?(x)?3x2?4bx?c，由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0……② 联立①②，解得b??1,c?1.
所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2 …………………………………4分 （II）因为g(x)?x?2x?x?2?令g?(x)?3x?4x?1?
2
3
2
1
mx 3
1
m?0 3
1
m?0有实数解，3
2
当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?
由??4(1?m)?0，得m?1.
22
，在x?左右两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无极值 33
11
②当m?1时，g?(x)?
0有两个实数根x1?(2x2?(2?g?(x),g(x)情况如
33
①当m?1时，g?(x)?0有实数x?下表：
所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?
11
(2?时，g(x)有极大值；当x?(2?时，g(x)有极小值； 33
…………………………………12分
6.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x3?bx2?cx的导函数的图象关于直线x=2对称. （Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若f(x)在x?t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。 解: （Ⅰ）f?(x)?3x2?2bx?c.因为函数f?(x)的图象关于直线x=2对称，
所以?
2b
?2，于是b??6. 6
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x3?6x2?cx，f?(x)?3x2?12x?c?3(x?2)2?c?12. （ⅰ）当c ? 12时，f?(x)?0，此时f(x)无极值。
（ii）当c<12时，f?(x)?0有两个互异实根x1,x2.不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2. 当x＜x1时，f?(x)?0， f(x)在区间(??,x1)内为增函数；
当x1＜x＜x2时，f?(x)?0，f(x)在区间(x1,x2)内为减函数; 当x?x2时，f?(x)?0，f(x)在区间(x2,??)内为增函数.
所以f(x)在x?x1处取极大值，在x?x2处取极小值.
因此，当且仅当c?12时，函数f(x)在x?x2处存在唯一极小值，所以t?x2?2.
2
于是g(t)的定义域为(2,??).由 f?(t)?3t?12t?c?0得c??3t?12t.
3
2
3
2
2
于是g(t)?f(t)?t?6t?ct??2t?6t,t?(2,??).
2
当t?2时，g?(t)??6t?12t?6t(2?t)?0,所以函数g(t)
在区间(2,??)内是减函数，故g(t)的值域为(??,8).
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