篇一：初中数学专题-图形与变换
图形与变换
一．考点归纳：
轴对称 对称
平移
考点 旋转
相似
折叠
图形的运动中心对称
二．考纲要求：
1. 图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转
考试内容：轴对称、平移、旋转
考试要求：
(1) 通过具体的实例认识轴对称、平移及旋转，探索他们的基本性质；
(2) 能够根据要求做出简单的平面图形经过轴对称、平移及旋转后的图形，能做出简单
的平面图形进过一次或两次轴对称后的图形；
(3) 探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称、
平移及旋转的性质及其相关性质；
(4) 利用轴对称、平移及旋转及其组合进行图案设计，认识和欣赏轴对称、平移及旋转
在现实生活中的应用。
2. 图形的相似
考试内容：
比例的基本性质，线段的比，成比例线段，图形的相似及性质，三角形相似的条件，图形的位似，锐角三角函数，30°、45°、60°角的三角函数值。（锐角三角函数放在三角形中讲）
考试要求：
(1) 了解比例的基本性质，了解线段的比，成比例线段，通过实例了解黄金分割。
(2) 通过实例认识图形的相似，了解相似的性质，知道形似多边形的对应角相等，对应
边成比例，面积的比等于相似比的平方；
(3) 了解三角形的概念，掌握两个三角形的相似条件；
(4) 了解图形的位似，能够利用位似将图形放大或缩小；
(5) 通过实例了解物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题，如用相似测量旗杆
的 高度；
三．中考透析：
在中考中，本部分内容如果单独出题通常是选择或者填空题，但经常在解答题中综合其它知识考查，通常与函数图像和几何内容综合在一起考查。其中位似常以选择和填空题出现，而对称、相似和、平移、旋转、折叠及图形的运动通常易与函数图像和几何知识综合考查的。
四．知识要点
1. 轴对称（轴对称、折叠）
(1) 轴对称和轴对称图形的区别与联系
区别：轴对称是指两个图形间的位置关系；轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。
举例：
联系：
(a) 它们都延某一直线折叠,图形重合
(b) 如果把两个轴对称图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;反过来,把
轴对称图形的两部分当作两个图形,那么这两个图形成轴对称。
(2) 线段的垂直平分线及其性质
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
与一条线段的两个端点举例相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(3) 轴对称的性质：
(a) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线的线段垂
直平分线；
(b) 轴对称图形的对称轴是任意一对对应点连线的线段垂直平分线；
(c) 轴对称的两个图形全等
(d) 轴对称的两个图形，他们对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上。
(4) 轴对称变换（重点）
考点：利用坐标表示轴对称（做关于坐标轴及原点的对称点）
解析：点（ｘ，ｙ）关于ｘ轴对称的点的坐标为（ｘ，－ｙ）；关于ｙ轴对称的点的坐
标为（－ｘ，ｙ），关于原点对称的点的坐标为（－ｘ，－ｙ）
归纳：关于谁对称谁不变，关于原点对称全改变
(5) 轴对称的图形：等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，抛物线，双曲线，圆
(6) 重点考点：
（ａ）求关于坐标轴的对称（例１-2）
（ｂ）利用轴对称的性质，解答有关两线之和最短问题（例3）
(7) 中考最新动向
（a）折叠问题（例4）
（b）图案设计问题（例5）
2. 中心对称（中心对称、旋转）
(1) 中心对称及中心对称图形
（a）关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心，而且被对称中心平分； （b）关于中心对称的两个图形全等。
(2) 中心对称图形：线段、相交线、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆
(3) 中心对称与轴对称的区别联系
（a） 区别：关于直线对称和关于点对称
（b） 联系：都是旋转180°得到的
(4) 图形的旋转
（a） 图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫旋转，点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角。
（b） 图形在旋转有旋转中心和旋转角决定，旋转中心在旋转过程中式不动的，旋转不改变图形的大小和形状。
（c） 特征：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前后的图形全等。
（d） 旋转作图步骤
（i） 根据题意确定旋转中心、旋转方向和旋转角
（ii） 找出图形的关键点
（iii） 连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的对应点；
（iv） 次连接这些关键点的对应点，得到旋转后的图形。
（5） 重点考点及最新动向
（a）图形的变换和图案设计（例6）
3. 平移
4. 相似及位似
5. 图形的运动
五．真题解析：
例1. （2009，钦州）点P（-2，1）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A.（-2，-1）B.（2，1）C.（2，-1）D.（-2，1）
例2. （2009，彬洲）点P（3，-5）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A.（-3，-5）B.（5，3）C.（-3，5）D.（3，5） 例3. 如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC=10千米，BD=30千 米 且CD=30千米，现要在河边建一自来水厂，向AB两镇供水，铺设管道的费用为每A 千米3 万元，请你在河流CD上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用使 多少？ 例3 例4. （2009，哈尔滨）如图第９题图，梯形ABCD中AD//BC,DC垂直BC，
将 梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边的点A’处，若∠A’BC=20°，
则∠∠A’BD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25° D．30°
例４图
B
例
武汉中考)用四块如图所示
的正方形瓷砖拼成的新正方形,是拼成的图案是一个轴对称图形,请在图(2)(3)(4)中各画一种拼法,要求三种拼法各不相同,且其中至少有一个既是轴对称又是中心对称图形.
(1) (2)
例5图 (3) (4)
3)、B(?6，0)、例6.（2009,武汉）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(?2，
C(?1，0)．
（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
篇二：图形与变换
二年级数学下册第三单元 《图形与变换》教材分析
一、单元内容
义务教育课程实验教科书（人教版）二年级下册关于空间与图形的教学，在第三单元第37－47页编排了“图形与变换”，主要有二个知识点：
1．锐角和钝角
2．平移和旋转
另外，本单元教材还安排了2个练习，并有一块“生活中的数学”和一个实践活动“剪一剪”。
二、单元教材分析
学生上册已学了如何辨认角和直角，知道角的大小与两边张开的程度有关，并会判断角与直角。本单元在此基础上，让学生认识锐角和钝角。会用三角板上的 直角进行比较，平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象，是两种基本的图形变换。教材都是从现实生活实例入手，抽象出数学概念，最后，是学生通过动手操作，深入理解概念，体现了知识形成的完整过程。
三、单元教学目标
1．使学生会辨认直角、锐角、钝角。
2．使学生结合实例，初步感知平移、旋转现象。
3．会在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。
4．初步渗透变换的数学思想方法。
四、单元教学重、难点：
1、辨认锐角、钝角，理解锐角、钝角与直角的关系。
2、知平移、旋转现象，准确数出平移后图形的距离。
3、在格子图上画出简单图形沿水平、竖直方向平移后的图形。
五、单元课时安排
约3教时
六、课时目标
第一课时教学目标：
1.认识锐角和钝角,并理解与直角的关系。
2.在认识理解的基础上，能够动手折叠或正确的画出锐角和钝角。
3.围绕生活，巩固理解锐角和钝角。
第二课时教学目标：
1.结合学生的生活实际，初步感知平移和旋转现象。
2.通过生活事例，使学生初步了解图形的平移变换，能正确辨别这两种运动现象，并能通过操作对图形进行简单的平移（或旋转）。
3.初步渗透变换的数学思想方法。
第三课时（平移和旋转的练习课P44-45）教学目标：
1.经历各种数学活动，让学生进一步感知平移和旋转现象。
2.通过观察、分类、对比，进一步了解物体的平移和旋转的变换特征。
3.通过观察、动手操作，培养学生的观察能力和解决问题的能力。
七、具体内容
1．关于单元主题图P37
（1）涉及概念
这是幅生动有趣的游乐场情境图，包含了本单元涉及到的三种角（直角、锐角、钝角）与平移和旋转的概念。
三种角，如风车上相邻两片扇叶之间组成的直角，秋千架上的直角，观览车上的锐角，滑梯上的钝角。
平移和旋转。如，火车在铁轨上直行是平移现象，大风车、观览车、转椅都是旋转现象。另外，学生滑滑梯也是一种平移现象，但不同于本单元所讲的水平方向或竖直方向上的平移，而秋千、跷跷板都是属于摆动现象。
（2）利用教学
教学角时，可以让学生说说图上哪里有角，哪些是直角，那些不是直角的角是什么角，从而引出锐角和钝角的课题。接着在学生掌握了锐角和钝角的概念后，也可以再次利用这幅主题图，让学生判断一下图上哪些是锐角，哪些是钝角。
教学图形变换时，既可以用主题图上的情境引入课题，也可以在学生学完了平移和旋转后，判断图上哪些是平移现象，哪些是旋转现象。
2．关于锐角和钝角（P38）
（1）学习起点和所处地位
学生在二年级上册“角的初步认识”中，已经学会如何辨认角和直角，本单元在此基础上，让学生认识锐角和钝角，学习用更准确的、更具体的数学化语言描述生活中的角。另外，直角、锐角和钝角概念的掌握，可以为进一步学习角的度量奠定基础。
（2）设计更多活动
教学时，为了让学生在实际操作中理解锐角和钝角概念，教师可以设计更多形式的活动。如动手做、动手画锐角、钝角和直角等活动，这样学生就可以加深对三种角的认识。此外，教师也要鼓励学生充分发挥想像力和创造性，自己设计出更多的活动。
3．关于“生活中的数学”（P40）
教材在学习了“锐角和钝角”后，安排了“生活中的数学”，这开拓了学生课程学习的渠道及其与生活的联系。包括两个方面的含义：
①小学数学具有现实的性质，它来源于学生的生活，再运用到他们的现实生活中去。 ②学生应该用现实的方法学习数学，把数学知识应用到自己的生活中去，并体验数学来源于生活又应用于生活的乐趣。
4．关于平移的旋转（P41－42）
平移和旋转是新增加的内容，对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用。
（1）概念的界定（教师用书中）
平移：物体或图形在直线方向上移动，而本身没有发生方向上的改变，就可以近似地看作是平移现象。
旋转：物体以一个点或一个轴为中心进行圆周运动，就可以近似地看作是旋转现象。
（2）概念的把握
学生在描述平移时，可能说得不够准确，教师要注意及时点拨、引导。关键是把握住物体作平移运动时，本身的方向不改变。学生只能说出大致的意思就可以了。
同样在教学旋转时，只要学生举出的例子大致符合旋转的概念就可以了。关键是把握住物体旋转时，是围绕一个点或一个轴作圆周运动。
（3）概念的思考
如果物体以一个点或一个轴为中心进行运动可能是半圆，抑或是3/4圆，也就是说非圆周运动，这是否也可以近似看作是旋转呢？
（4）编排思路
平移和旋转的编排思路基本一致。教材都是从现实生活中的实例引入，抽象出数学概念，然后举例生活中更多的平移和旋转现象。
5．关于练习九（P39－40）和练习十（P43－45）
练习九和练习十是学生本单元数学学习的一个不可缺少的重要组成部分，占据了学生本单元数学学习的一半课时时间。这两个练习是建立在学生经验和知识基础上，强调学生对数学知识的“深入巩固”和基本技能的熟练掌握。其最大特点就是增加了动手操作的量。
其中练习十的第6题、第7题、第7题教材是分别在第131页、第133页、第135页提供了学生的操作学具，让学生利用学具，通过拼一拼、拉一拉、转一转，在游戏过程中体会平移和旋转。而且练习十的第7题、第8题还可以使学生初步体会组合的思想。活动时，可以让学生思考一共有多少种搭配的方案。教学时，重点是让学生亲自动手操作一下，通过一些不合理的组合提高学生学习数学的兴趣。
6．关于实践活动“剪一剪”（P46－47）
（1）活动内容
这部分教材取材于中国民间传统的手工艺“剪纸”，设计了两个剪纸活动：
a．剪出排成一排的小纸人（感受图形的平移）
b．剪出围成一圈的小纸人（感受图形的旋转）
（2）教学建议
a．在剪纸活动中，注意让学生感受其中蕴涵的数学知识。
b．留给学生一定的创作空间。
这个创作空间指的是发挥学生想像力和创造性，让学生自己设计图案，比如蝴蝶、雪花等，初步培养学生的创新意识。
c．要求不能过高，时间不够，可向课外延伸。
八、教学注意点
1．注意结合生活实际教学几何概念。
（1）小学低年级学生在学习抽象几何概念时，需要借助形象直观的支持。为此，在引入概念时，要注意从学生熟悉的生活实际入手，帮助学生理解。
（2）除了利用教材上提供的素材以外，教师可以结合当地实际，为学生准备其他的实物，帮助学生认识锐角、钝角以及平移、旋转现象。
2．注意借助操作活动帮助学生巩固知识。
（1）教学中可以仿照教材上设计的活动，通过折叠、做角、画角、拼摆、拉一拉、转一转，帮助学生巩固所学的知识。
（2）除了教材上提供的活动形式以外，教师还可以根据学生的特点，自行设计一些活动。例如，让一名学生站在教室里，演示一下分别向前、后、左、右四个方向平移，再如，让一组学生手拉手围成一圈，旋转一下，或是拿一根线，一头拴上橡皮，在空中旋转一下。通过这样的活动，学生可以进一步体验平移和旋转的特征。
3．注意准确把握教学要求。
教学时，要准确把握本单元的教学重点和要求。例如，教学锐角和钝角时，重点是让学生对一个角和直角进行比较大小，知道它是锐角（或钝角）就可以了。再如，本单元对平
篇三：图形与变换》
“图形与变换”教学设计
【教学内容】
人教版小学数学六年级下册第103页“图形与变换”。 【设计理念】
数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。在进行“图形与变换”的教学时，注重问题情境的创设，通过现实情境与数学情境，着力引导学生联系生活实际或数学实际，动手操作，帮助学生再现与复习所学过的图形变换的常用方法，渗透审美教育，产生创造美的欲望，培养学生对数学学科的兴趣与情感。 【教材分析】
本节课的内容是在学生已经掌握了轴对称图形和图形的平移、旋转的基础上进行教学的。着重复习轴对称、平移、旋转三种基本的几何变换。通过创设适当的现实问题情境，揭示数学与现实世界的联系，帮助学生进一步理解常见图形的变换，以探究活动贯穿教学的全过程，让学生在主动探究和合作交流总，促进对已学知识的理解和巩固，以提高复习的有效性，培养学生探究能力和解决实际问题的能力，发展学生的应用意识，提升学生的数学素养。 【教学目标】
1．通过复习使学生进一步掌握对称、平移、旋转、等图形变换的特征；学会运用对称、平移、旋转的特征进行图形的变换。
2．在丰富的现实情境中，经历观察、操作、欣赏、分析、想象、创作等数学活动过程，进一步发展学生的空间观念。
3．通过欣赏图形变换所创造出的美，进一步感受对称、平移、旋转在现实生活中的广泛应用，体会数学的文化价值，感受数学的美。 【教学重点】
进一步掌握对称、平移、旋转的特征，加深对图形变换知识的理解。 【教学难点】
综合运用对称、平移、旋转的特征进行图形的变换，进一步发展学生空间观念。 【教学过程】
一、创设情境，引入课题 1．欣赏汽车标志中的几种图案
师：前段时间老师认识了不少车标，现在我想考考你，这些是什么汽车标志？
这些图案设计的非常精美，仔细观察，它们在设计上运用了数学上的哪些方法？ （预设：这些图案在设计上分别运用了轴对称、平移、旋转的方法，请学生举例说明。） 2．揭示课题：今天我们就一起来回顾图形与变换这一部分内容。
【设计意图：欣赏图片，帮助学生再现与复习所学过的图形变换的常用方法，让学生感受图形中蕴藏的美，培养学生对数学学科的兴趣与情感。】 二、回忆整理，再现旧知
1．欣赏教材第103页板报花边图案
（1）师：刚才我们欣赏的这些图案大多是设计师们设计的，瞧，这是一位同学利用图形的变换设计的一幅板报花边，仔细观察，你们知道他运用了哪些图形变换的知识吗？ （预设：一排花边是由一个图形通过不断平移得到的，其中的每幅图案是一个轴对称图形，由三角形或正方形通过旋转并依此放大得到的。）
在学生说的过程中指出图形的变换还有放大与缩小并板书。 （2）你能指出这个图案的对称轴吗？
（3）它是怎么通过什么旋转得来的？这里既可以看做由三角形旋转得到，也可以看做由正方形旋转而成。它们旋转了多少度？ （4）根据学生的回答课件动态演示。
小结：这个板报的花边是综合运用了图案变化知识进行设计的，其实人们在生活中利用图形的变换可以设计出许许多多漂亮的图案。
【设计意图：观察板报花边的设计，综合出示图形变换的不同形式和一图多变，了解学生的学习体会，体会到数学源于生活又高于生活。】 2．复习画法
师：图形与变换的知识还应用在游戏中，你们玩过俄罗斯方块吗？让我们一起来玩一玩吧，玩之前，先自己动手设计几个方块。 （1）设计轴对称图形
出示：请在右图中添上一个小正方形，使其成为轴对称图形，你能想出几种不同的方法？ 学生设计方块，指名说说你是怎么放的？学生说教师课件出示。
重点说说右边这种设计，你能指出它的对称轴吗？如果沿着 这条对称轴移动这个正方形，放在这里可以吗？你发现了什么？
如果把正方形旋转一下，这样放可以吗？除了正方形，还可以放哪些图形？引导学生明确只要是轴对称图形都可以放，并且图形的对称轴要和这条对称轴重合。
看来只要一直在这条对称轴上画，我们就能设计出无数种这样的对称图形，你觉得轴对称图形最主要的是要弄清什么？（板书：对称轴）
【设计意图：通过前测，学生都已掌握了画轴对称图形的另一半，这些对六年级学生来说没有任何难度，所以本环节让孩子自己设计轴对称图形，提升他们的思维能力，促使他们多方面地思考问题，并且使领悟到找准关键点，就能延伸出许多类似的问题。】 （2）旋转和平移的画法
设计了图形，接下来我们就来玩一玩这个游戏。
出示：怎样将方块A放入合适的位置？
第一步：你能把方块放到适当的位置吗？讨论：谁来说说合适的位置在哪？怎样放？
（预设：图形先绕点O逆时针旋转90°，再向下平移5格；先向右平移4格，再向下平移4格等）
第二步：请你选择一个位置，画出第一次变换后的图形，如：先向哪边平移就画出平移后的图形，先向哪边旋转就画出旋转后的图形。
第三步：反馈学生画法。
1）平移的方法：你是怎么平移的？平移的时候要说清楚什么？（板书：方向，距离）
对于平移你有什么画图经验？（先确定点，再连线，最后围成一个图形）板书：点——线——面。
2）旋转的方法：你是怎么旋转的？你觉得画旋转图形时要注意什么问题？有什么诀窍？看来旋转的时候我们得先确定中心点。还要注意说明什么？
①反馈逆时针旋转90°后的图形，比较两幅绕不同点旋转后得到的图形，提问，为什
么都是逆时针旋转90°，但画的位置却不一样？指出确定中心点很重要，除了这两点，还可以绕其他点旋转。
课件演示画法（板书：中心点，方向，度数）
②反馈逆时针旋转180°后的图形，出示对的和错的让学生同时比较，到底哪个对？有什么办法可以验证吗？其实老师还想告诉大家，有时候当我们想象感觉有困难时，不妨亲自动手试一试。学习是要善于思考的，有时候动手能帮我们很大的忙。
看看不对的这个问题出在哪里？让学生观察从点出发的两条边逆时针旋转180°后的真正位置，指出解决问题时找准方法很重要。
【设计意图：复习平移、旋转的画法，第一次的反馈方块A逆时针旋转90°后得到的图形，突破绕不同的中心点旋转，位置就不同。第二次反馈方块A绕一个点逆时针旋转180°后得到的图形，180°对于学生来说是一个难点，很难凭空想象，也容易出错，在反馈时拿出对错的两幅图让学生动手验证，再试着从点出发的两天边上去考虑，就能很快地确定位置了。此设计让学生感悟学习方法的重要性，以后在碰到类似问题就能迎刃而解了。】 3．按比例放大
请将方块按2:1放大，画出扩大后的图形。 提问1：你是怎样理解按2:1扩大的？
提问2：把方块按2:1扩大，那放大后的图形与原来的图形相比，有什么联系和区别吗？它的周长是原来的几倍？面积是原来的几倍？
提问3：画放大图形最重要的是要注意什么？（板书：比） 4．轴对称、平移、旋转和放大与缩小的区别与联系
师：结合刚才的分析，我们来比较一下平移、旋转、放大与缩小这三种变换有什么联系和区别吗？它们的形状和大小、位置是否都发生变化了吗？
学生分析，同桌先讨论。
师生共同总结：平移不改变图形的形状、大小和方向；旋转不改变图形的大小和形状，但改变了方向。放大与缩小不改变形状，但改变了大小。
图形的变换在我们数学学习中也经常用到。 三、综合运用，巩固提高 1.在数学学习中的应用
看，这个点不断平移会成为什么？如果将这条射线进行旋转呢？会得到什么？
如果是两条线，旋转其中一条，看看会出现什么？谁来描述一下。（垂线）这一组呢？一条
线通过平移得到平行线。
出示正方形，说说要围成一个正方形可以由什么变换方式得到？
如果在正方形一边加一条轴，使其绕这条轴旋转，想想会得到什么？出示圆柱。 如果把一个直角三角形进行旋转呢？出示圆锥。 那下面这些图形呢？梯形、半圆、圆、长方形等。
2．在我们数学学习中，用到了这些方法，其实在我们数学解决问题中也经常用到了这样的方法。
如图所示，草坪中间有两条宽两米的小路，你能算出草坪的面积吗？ 3．观察下列图案，说说第一个图案左上的小圆怎么得到右下的小圆？
画这些图时需要准备哪些工具？
4．欣赏通过旋转画成的优美图案，你能运用图形与变换的知识设计图案吗？ 四、回顾全课，总结评价
通过今天的复习你有什么收获呢？回顾一下我们是怎样进行复习的？
教师小结：将图形进行平移、旋转和根据对称轴画另一半时我们都用了一个共同的方法：点——线——面，这也是构成几何图形的要素，这种方法以后到了初中我们还会继续用到。知识与知识之间是互相关联的，我们的世界也因为联系而存在。
板书： 图形与变换 点轴对称 对称轴
平移方向 距离线
旋转中心点 方向 度数
放大与缩小比 面
《图形与变换》出自：百味书屋
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