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小学数学教师招聘考试专业知识

2017-05-09 06:36:57 来源网站: 百味书屋

篇一:小学数学教师招考专业知识试题汇编

教师

一、单项选择题。

1、下列各条件中,能够判定四边形是平行四边形的是()

A.一组对角相等B,两条对角线互相平分

C.一组对边相等D.两条对角线互相垂直

3、函数y=6x3-12x2+6x+1的单调减区间为() A.(??,)B. (,1)

C.(1, +?) D.(-1,-)

4、()是牛顿-莱布来茨公式,其中F(x)是f(x)的一个原函数。

A.

C.131313?baf(x)dx?F(a)?F(b)B.?f(x)dx?F(a)?F(b ) ab?b

axdx?b?a D.?xdx?a?b ab

5.若两圆的半径分别是1cm和5cm,圆心距是6cm,则两圆的位置关系是()。

A.内切B.相交

C.外切D.相离

6、已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于().

A.5 B.10 C.15 D.20

7、函数f(x)=sinx-cosx的最大值为()

A.1 B.2 C. D,2

8.长方体ABCD-A1B1C1D1三条棱长分别是AA=1,AB=2,AD=4,则从A点出发,沿长方体的表面到C 的最短距离是( )

A.5B.7 C.29D.

9、一个数四舍五入到近似值为3万,这个数最大值是()

A.29999B.34999

C.30000D.39999

10、已知反函数y=k的图象经过点p(-1,2),则这个函数的图象位于()。 x

A.第二、三象限 B、第一、三象限

C.第三、四象限 D、第二、四象限

11、一个袋中装着5个黑球、3个白球,另一个袋中装着4个黑球、4个白球,从两个袋中分别取出一个球,则两个球都是黑球的概率是() 53 B. 164

13C . D. 216A .

12、已知向量a=(5,-3),则 a=()

A.34B.43

C. D.43

13.有一种食物是由每千克30元的奶糖3千克,每千克6元的面粉3千克,每千克15元的精华粉4千克混合制成的,最后这种食品平均每千克售价为()元。

A.17 B.16.8

C.18 D.15

14.已知AUB?M,AIB?N,则下列关系正确的是()

A.M?NB.MIN?N

C.M I N=N D.M U N=N

15.用0,1,2,3这四个数字可以组成的没有重复数字的三位数个数是( )

A.24B.21

C.18D.12

二、填空题

1、已知曲线f(x,y)=0满足f(-x,-y)=0,则曲线关于_________对称。

2. 7名志愿者安排6人在周六、周天两天参加社区公益活动。若每天安排3人,则不同安排方案共有__________种。

3、函数y=2x3-x2+x-1在(1,1)处的切线的斜率为__________。

4. 李师傅随机抽查了本单位今年四月份里6天的日用水量(单位:吨)结果如下:7,8,8,7,6,6 ,根据这些数据,估计四月份用水量为__________吨。

5.一个球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半,当它第10次着地时共经过了____________米。

6、函数y=2x+1的单调增区间为___________。 x

7.已知集合M={X∣-3?x?5},N={x∣-5<x<5},则M?N?__________。

8.已知F是双曲线的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则 ∣PF∣+∣PA∣的最小值为__________。

29、已知f(1-cosx)=sinx,则f(x)=_________.

10、如果:A=2×2×5,B=2×3×5,那A、B的最大公约数是____,最小公倍数是_____.

11.设0< ,则?sin等于__________。 sin?cos

12.点p(1,2)到直线y=2x+1的距离为__________.

2213、若p(2,1)为圆(x-1)+y=25的弦的AB的中点,则直线AB的方程为_________.

二、计算题。

1、 已知函数f(x)=x-2x.

(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值。

2、 建造一个容积为4800立方米,深为3米的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每

平方米分别为150元和120元,那么怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价为多少元?

23、 假设两个二次函数的图象关于直线x=1对称,其中一个函数的表达式为y=x+2x-1,求另

一个函数的表达式。

4、 某种图书原价为每本a元时,售出总量为b本,如果每本价格上涨x%,预计售出总量将

减少0.5x%,问x为何值时这种书的销售总金额最大。

5、 设数列{an},{bn}满足a1=1,b1=0且??an?1?2an?3bn??,n=1,2,3… bn?1?an?2bn??

6.已知圆O的圆心在坐标原点,圆O与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B, ︱AB︱=22.设P为圆O上一点,且OP∥AB,求点P的坐标。

篇二:小学数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试 专业知识复习

一、复习要求(由于招考题目仅为高考知识,所以本内容以均为高考知识点)

1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;

2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;

3、 理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;

4、 理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;

5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

二、学习指导

1、集合的概念:

(1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;

(2) 集合的分类:

① 按元素个数分:有限集,无限集;

②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;

(3) 集合的表示法:

①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,?};②描述法。

2、两类关系:

(1) 元素与集合的关系,用?或?表示;

?(2)集合与集合的关系,用?,??,=表示,当A?B时,称A是B的子集;当A?B时,称A是B的真子集。

3、集合运算

(1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且x?A},集合U表示全集;

(2) 运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),

CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。

4、命题:

(1) 命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;

(2) 复合命题的形式:p且q,p或q,非p;

(3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。

(3)四种命题:记“若p则q”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、 充分条件与必要条件

(1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;

(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合B,则当A?B时,p是q的充分条件。B?A时,q是p的充分条件。A=B时,p是q的充要条件;

(3) 当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。

6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。

解题思路分析:

在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。

解题思路分析:

化简条件得A={1,2},A∩B=B?B?A

根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}

当B=φ时,△=m2-8<0

∴ ?22?m?22

当B={1}或{2}时,?

当B={1,2}时,?

∴ m=3

综上所述,m=3或?22?m?22

说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。

解题思路分析:

假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾

∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。 解题思路分析:

利用“?”、“?”符号分析各命题之间的关系

D?C?B?A

∴ D?A,D是A的充分不必要条件

说明:符号“?”、“?”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。

例5、求直线?:ax-y+b=0经过两直线?1:2x-2y-3=0和?2:3x-5y+1=0交点的充要条件。

解题思路分析:

从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。

???0,m无解 1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m 1?2?2?

由 ??2x?2y?3?01711得?1,?2交点P(,) 44?3x?5y?1?0

∵ ?过点P

∴ a?1711??b?0 44

∴ 17a+4b=11

充分性:设a,b满足17a+4b=11

∴ b?11?17a 4

11?17a?0 4代入?方程:ax?y?

整理得:(y?1117)?a(x?)?0 44

11171711?0,x??0的交点(,) 4444此方程表明,直线?恒过两直线y?而此点为?1与?2的交点

∴ 充分性得证

∴ 综上所述,命题为真

说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“?”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。

四、同步练习

(一) 选择题

1、 设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是

?A、{a}=M B、M??{a} C、{a}?M D、M?{a}

2、 已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是

A、[0,2] B、(-2,2)C、(0,2] D、(0,2)

3、 已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N={x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是

?A、M??NB、M?N C、M=N D、不确定

4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是

A、11B、10C、16D、15

5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是

A、15B、16C、31D、32

6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是

A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真

7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3?+1,?∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是

????A、S??B?A B、S=B?A C、S?B=A D、S?B=A

9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是

A、0<m≤1或m<0 B、0<m≤1

C、m<1 D、m≤1

10、已知p:方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q:a,b是整数,则p是q的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

充要条件D、既不充分又不必要条件

(二) 填空题

11、 已知M={m|m?4x?3?Z},N={x|?N},则M∩N=____空集______。 22

12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是___25__人。最多__60_

13、

14、

15、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。 命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为_____真命题_______。 非空集合p满足下列两个条件:(1)p?(2)若元素a∈p,则6-a∈p,则集合p个数是?{1,2,3,4,5},

____7______。

(三) 解答题

16、

17、

18、

19、

函 数

一、复习要求

7、 函数的定义及通性;

2、函数性质的运用。

二、学习指导

1、函数的概念:

(1)映射:设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f:A→B,f表示对应法则,b=f(a)。若A中不同元素的象也不同,则称映射为单射,若B中每一个元素都有原象与之对应,则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

(2)函数定义:函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素,从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。逆过来,值域也会限制定义域。

求函数定义域,通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的定义域,通过四则运算构成的初等函数,其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域,不仅要考虑内函数的定义域,还要考虑到外函数已知a?x2?,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明:a、b、c中至少有一个不小于1。 12设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。 已知抛物线C:y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。 设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。

对应法则的要求。理解函数定义域,应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法,抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它的一种典型处理方法就是建立函数解析式,借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

(1)奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在利用定义判断时,应在化简解析式后进行,同时灵活运用定义域的变形,如f(?x)?f(x)?0,

奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质,定义式是定义域上的恒等式。

利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

(2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间,单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质,是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解抽象函数不等式等。

(3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|。

(4)反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一,在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数,函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相同的单调性等,把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A,值域为C,则

f-1[f(x)]=x,x∈A

f[f-1(x)]=x,x∈C

3、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工具作用。 图象作法:①描点法;②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数;一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性,掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数,通常是抓住函数特性是定义域上恒等式,利用赋值法(变量代换法)解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路,及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意,找准数量关系,把握好模型是解应用题的关键。

5、主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。

三、典型例题

例1、已知f(x)?

分析: 2x?3,函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(11)的值。 x?1f(?x)??1(f(x)≠0)。 f(x)

篇三:数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试 专业知识复习

一、复习要求

1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义; 2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;

3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;

4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系; 5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

(1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;

(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当A?B时,p是q的充分条件。B?A时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件;

(3)当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。

二、学习指导

1、集合的概念:

(1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2)集合的分类:

①按元素个数分:有限集,无限集;

②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线; (3)集合的表示法:

①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,?};②描述法。

2、两类关系:

(1)元素与集合的关系,用?或?表示;

?(2)集合与集合的关系,用?,??,=表示,当A?B时,称A是B的子集;当A?B时,称

2

2

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。

解题思路分析:

在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x-3x+2=0},B+{x|x-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。 解题思路分析:

化简条件得A={1,2},A∩B=B?B?A

根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2} 当B=φ时,△=m-8<0 ∴ ?22?m?22

2

2

2

2

2

2

2

A是B的真子集。

3、集合运算

(1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且x?A},集合U表示全集;

(2)运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB), CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。 4、命题:

(1)命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题; (2)复合命题的形式:p且q,p或q,非p;

(3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。

(3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q

???0

当B={1}或{2}时,?,m无解

1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m

当B={1,2}时,?

1?2?2?

充分性:设a,b满足17a+4b=11 ∴ b?

11?17a

4

代入?方程:ax?y?整理得:(y?

∴ m=3

综上所述,m=3或?22?m?2

说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析:

假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。

解题思路分析:

利用“?”、“?”符号分析各命题之间的关系 D?C?B?A

∴ D?A,D是A的充分不必要条件

说明:符号“?”、“?”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。 例5、求直线?:ax-y+b=0经过两直线?1:2x-2y-3=0和?2:3x-5y+1=0交点的充要条件。 解题思路分析:

从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。 ?2x?2y?3?01711

由 ?得?1,?2交点P(,)

44?3x?5y?1?0

11?17a

?0 4

1117

)?a(x?)?0 44

11171711

?0,x??0的交点(,) 4444

此方程表明,直线?恒过两直线y?而此点为?1与?2的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述,命题为真

说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“?”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。

四、同步练习

(一) 选择题

1、设M={x|x+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是

?A、{a}=M B、M??{a} C、{a}?M D、M?{a}

2、已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是 A、 [0,2] B、(-2,2)C、(0,2] D、(0,2)

3、已知集合M={x|x=a-3a+2,a∈R},N、{x|x=b-b,b∈R},则M,N的关系是

?A、 M??NB、M?N C、M=N D、不确定 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是

A、11B、10C、16D、15 5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是

A、15B、16C、31D、32 6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3?+1,?∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是

2

2

2

∵ ?过点P ∴ a?

1711

??b?0 44

∴ 17a+4b=11

????A、S??B?A B、S=B?A C、S?B=A D、S?B=A

函 数

一、复习要求

7、函数的定义及通性; 2、函数性质的运用。

9、方程mx+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A、0<m≤1或m<0 B、0<m≤1 C、m<1 D、m≤1

10、已知p:方程x+ax+b=0有且仅有整数解,q:a,b是整数,则p是q的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 充要条件D、既不充分又不必要条件 (二) 填空题 11、已知M={m|

2

2

二、学习指导

1、函数的概念:

(1)映射:设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f:A→B,f表示对应法则,b=f(a)。若A中不同元素的象也不同,则称映射为单射,若B中每一个元素都有原象与之对应,则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

(2)函数定义:函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素,从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。逆过来,值域也会限制定义域。

求函数定义域,通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的定义域,通过四则运算构成的初等函数,其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域,不仅要考虑内函数的定义域,还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域,应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法,抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围

m?4x?3

?Z},N={x|?N},则M∩N=__________。 22

12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。

13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。

14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

15、非空集合p满足下列两个条件:(1)p?(2)若元素a∈p,则6-a?{1,2,3,4,5},

∈p,则集合p个数是__________。 (三) 解答题

16、设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范

围。

17、已知抛物线C:y=-x+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不

同交点的充要条件。

18、设A={x|x+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,

求p、q的值。

19、已知a?x2?

2

2

内,用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它的一种典型处理方法就是建立函数解析式,借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

(1)奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在利用定义判断时,应在化简解析式后进行,同时灵活运用定义域的变形,如f(?x)?f(x)?0,≠0)。

f(?x)

??1(f(x)f(x)

12

,b=2-x,c=x-x+1,用反证法证明:a、b、c中至少有一个不小于1。 2

奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质,定义式是定义域上的恒等式。 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

(2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间,单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质,是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解抽象函数不等式等。

(3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|。

(4)反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一,在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数,函数f(x)的反函数f(x)的性质与f(x)性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相同的单调性等,把反函数f(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A,值域为C,则 f[f(x)]=x,x∈A f[f(x)]=x,x∈C 8、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工具作用。

图象作法:①描点法;②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数;一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性,掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数,通常是抓住函数特性是定义域上恒等式,利用赋值法(变量代换法)解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路,及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意,找准数量关系,把握好模型是解应用题的关键。

5、主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。

-1-1

-1

-1

利用数形对应的关系,可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函数,从而化g(x)问题为已知f(x)。 ∵ y=f(x+1) ∴ x+1=f(y) ∴ x=f(y)-1

∴ y=f(x+1)的反函数为y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 ∴ g(11)=f(11)-1=

-1-1

-1

3

2

评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系,当f(x)存在反函数时,若b=f(a),则a=f(b)。

例2、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1时,f(x)=2x-1,求当1<x≤3时,函数f(x)的解析式。

解题思路分析: 利用化归思想解题 ∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2) ∵ 该式对一切x∈R成立

∴ 以x-2代x得:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1<x≤3时,-1<x-2≤1 ∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5 ∴ f(x)=-2x+5(1<x≤3)

评注:在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式的定义域,另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。

例3、已知g(x)=-x-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时,f(x) 的最小值,且f(x)+g(x)为奇函数,求f(x)解析式。

分析:

用待定系数法求f(x)解析式 设f(x)=ax+bx+c(a≠0)

2

2

-1

三、典型例题

2x?3-1

例1、已知f(x)?,函数y=g(x)图象与y=f(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(11)

x?1的值。

分析:

则f(x)+g(x)=(a-1)x+bx+c-3 ?a?1?0

由已知f(x)+g(x)为奇函数?

c?3?0??a?1

∴ ?

c?3?

2

f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1;

(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R上的增函数;

(4)若f(x)·f(2x-x)>1,求x的取值范围。 分析:

(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)] ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 (2)令a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f(?x)?

1

f(x)

2

2

∴ f(x)=x+bx+3

下面通过确定f(x)在[-1,2]上何时取最小值来确定b,分类讨论。 b2b2b

f(x)?(x?)?3?,对称轴x??

242

2

(1)当?

b

≥2,b≤-4时,f(x)在[-1,2]上为减函数 2

∴ (f(x))min?f(2)?2b?7 ∴ 2b+7=1 ∴ b=3(舍) (2)当?

由已知x>0时,f(x)>1>0 当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f(x)?

1

?0 f(?x)

b

,-4<b<2时 ?(-1,2)

2

bb2

?f(?)???3

24

(f(x))min

2

又x=0时,f(0)=1>0 ∴ 对任意x∈R,f(x)>0

(3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴

f(x2)

?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1 f(x1)

∴ ?

b

?3?1 4

∴ b??22(舍负) (3)当?

b

≤-1,b≥2时,f(x)在[-1,2]上为增函数 2

∴ (f(x)min=f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3

∴ f(x)?x2?2x?3,或f(x)?x3?3x?3

评注:二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论,是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下,仍需讨论何时取得最小值。

例4、定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有

∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数

(4)f(x)·f(2x-x)=f[x+(2x-x)]=f(-x+3x) 又1=f(0),f(x)在R上递增 ∴ 由f(3x-x)>f(0)得:3x-x>0 ∴ 0<x<3

评注:根据f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点,对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式,是处理抽象函数不等式的典型方法。

2

2

2

2

2


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