篇一：大学物理——机械振动
第十章 机械振动
基本要求
1．掌握简谐振动的基本概念和描述简谐振动的特征量的意义及相互关系。 2．掌握和熟练应用旋转矢量法分析与解决有关简谐振动的问题。
3．掌握简谐振动的动力学与运动学特征，从而判定一个运动是否为简谐振动。 4．理解简谐振动的能量特征，并能进行有关的计算。 5．理解两个同振动方向、同频率的简谐振动的合成。
6．了解同振动方向不同频率的简谐振动的合成和相互垂直的两个振动的合成。
7．了解频谱分析、阻尼振动与受迫振动。 8．了解混沌的概念和电磁振荡。
10-1简谐振动
一． 弹簧振子
??
f??kx１． 弹性力： 2．运动学特征：
dxdt
22
特征方程：
2
??x?0式中 ?2?K
m
其解： x?Acos(?t??)
二． 描述谐振动的物理量 １． ２．
振幅：A 角频率：??
km
３．
频率：??
?
2?2?
４． ５． ６． 三．
周期：T?
?
相位：?t?? 初相位：?
谐振动中的速度和加速度
v?
dxdt
??A?sin(?t??)?vmcos(?t???
?
2
)
a?
dvdt
?
dxdt
2
2
??A?
2
cos(?t??)?amcos(?t????)
四．
决定?,A,?的因素
1．? 决定于振动系统，与振动方式无关； 2．A,?决定于初始条件：
v0
22
公式法: A?分析法：
x0?
2
?
，??arctg(?
v0
?x0
)
x0?Acos? ? cos??
x0Av0
??1,?2 {
?0(1,2象限）?0(3,4象限）
v0??Asin??sin???
六．谐振动的能量
Ek?
1212mv
2
A?
?
1212
m?Asin(?t??)
2
2
222
Ep?
kx
2
?kAcos(?t??)?12
12
12
m?Acos(?t??)
222
E?Ek?Ep?
kA
2
?
?Am
22
Ek?
1T
?0
T
12
m?Asin(?t??)dt?
222
14
mA?
22
?
14
kA
2
Ep?Ek
例１． 已知t?0时x0?
例２． 已知t?0时x0?0,v0?0,求?思考：
１． 地球，M,R已知，中间开一遂道；小球m，从离表面h处掉入隧道，问，小球是否作谐振动？ ２． 复摆问题（I,m,lc已知）
d?dt
22
A2
,v0?0,求?
?
mglI
c
??0
３． 弹簧串、并联
串联：
1k?1k1
?1k2
并联：k?k1?k2
10-2 谐振动的旋转矢量表示法
一、幅矢量法 1. 2.
作x轴，O为平衡位置；
?
A在x轴上的投影点P作谐振动：
x?Acos(?t??)
3.
T?
O
?
A以角速度?旋转一周，P正好来回一次：
2?
P
P0
?
二、参考圆法 1. 2. 三、相位差
1. 同频率、同方向的两谐振动的相位差就是它们的初相差，即：????2??1 2. 超前与落后
例1. 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A?12cm，周期T?2s，t?0时，位移为6cm且向x正方向运动，求： 1) 初位相及振动方程；
2) t?0.5s时，物体的位置、速度和加速度；
3) x0??6cm处，向x轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最短时间；
例2. 设有一音叉的振动为谐振动，角频率为??6.28?10s
2
?1
以O为原点，A为半径作圆，x轴； 在图上根据已知求未知
，音叉尖端的
振幅A?1mm。试用参考圆法求出以下三种情况下的初相，并给出振动方程；
1) t?0时，x0?0，v0?0； 2) t?0时，x0?
A2
，v0?0；
A2
3) t?0时， x0??
，v0?0。
10-3谐振动的合成
一．同频率同方向谐振动的合成 1.解析法：
x1?A1cos(?t??1)
x2?A2cos(?t??2) x?x1?x2?Acos(?t??)
A?
A1?A2?2A1A2cos(?2??1)
tg??
A1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2
22
2.振幅矢量法：结果同上。 3.讨论：
① ????2??1??2k?，k?0,1,2,?
A?A2?A1 为最大
②????2??1??(2k?1)?，k?0,1,2,?
A?A2?A1 为最小
A1?A2,???1 A1?A2,???2
二.同方向不同频率谐振动的合成 １．
一般情况：
????2t??2?(?1t??1)?(?2??1)t?(?2??1)???(t)
已不是谐振动。 ２． ① ②
频率差很小，拍现象： 定性理解拍现象：??1??2 拍频的推导：T?
2?
?2??1
三.相互垂直的谐振动的合成 1.
同频率：
x?A1cos(?t??1) y?A2cos(?t??2)
消去时间t，得：
篇二：大学物理机械振动
第六章机械振动
一. 选择题
1. 质点沿x
轴做简谐振动，振动方程用余弦函数表示，若
初相位为 时，质点过平衡位置且向x轴正方向运动，则它的振动
(A) 0 (B)(C) (D)
2. 两个质点各自做简谐振动，它们的振幅、周期相同，第一个质点的振动方程为，当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处，则第二个质点的振动方程为： (A) (B) (C) (D)
3. 质点做简谐振动，振幅为A，初始时刻质点的位移为，且向x轴正向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为
(A)(B)
(C) (D)
4. 质点做简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处运动至最大位移处所需的最短时间为
(A) T／4 (B) T／12 (C) T／6 (D) T／8
5. 一弹簧振子做简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的 (A) (B) (C) (D)(E)
6. 两个简谐振动，，，且，合振动的振幅为
(A) (B) (C) (D)
二. 填空题
7. 一弹簧振子，弹簧的弹性系数为k，物体的质量为m，则该系统固有圆频率为_________，固有振动周期为_____________.
8.
一简谐振动方程为
____________，初相位为____________.
9. 单摆做小幅摆动的最大摆角为θm，摆动周期为T
，
点，向右方为正，则振动方程为______________________.
10. 一质点同时参与三个简谐振动，振动方程分别为：
时处于图示位置，选单摆平衡位置为坐标原，已知时的初位移为0.04m，初速度为0.09m/s，则振幅为
，，.
则合振动方程为___________________.
三. 计算题
11. 质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按 x?0.5cos(8?t??
3)cm 的规律振动，式中t的单位为S 。 试
求：（1）振动的圆周期、周期、初相、速度及加速度的最大值；
（2）t =1s、2s时的相位各为多少？
12. 图示为质点做简谐振动的曲线，试写出该质点的振动方程.
13. 在一轻弹簧下端悬挂砝码时，弹簧伸长8cm，现在此弹簧下端悬挂的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s初速度（设这时t = 0）令其振动起来，取x轴向下，写出振动方程。
14. 两质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,其表达式为：x1?0.04cos(2t??
6),5x2?0.03cos(2t??) 6
试求其合振动的振幅和初相位（式中x以m计，t以s计）．(用旋转矢量法)
一. 选择题
1. 机械波的表示式为（SI），则
(A) 其振幅为3m(B) 其波速为10m/s (C) 其周期为1/3s (D) 波沿x轴正向传播
2. 一平面简谐波沿x轴正向传播，质点的相位为
(A) 0 (B) π
(C) π/2(D) - π/2
3. 频率为100Hz、波速为300m/s的简谐波，在传播方向上有两点同一时刻振
动相位差为π/3，则这两点相距
(A) 2m (B) 21.9m
(C) 0.5m (D) 28.6m
4. 一平面简谐波在介质中传播，某瞬时介质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量为
(A) 动能最大，势能为零 (B) 动能为零，势能最大
(C) 动能为零，势能为零 (D) 动能最大，势能最大
5. 一平面简谐波在弹性介质中传播，下述各结论哪个是正确的？
时波形图如图示，此时处
(A) 介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒
(B) 介质质元的振动动能和弹性势能做周期性变化，但二者的相位不相同
(C) 介质质元的振动动能和弹性势的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等
(D) 介质质元在其平衡位置处弹性势能最大
6. 两相干波源S1、S2发出的两列波长为λ的同相位波列在P点相遇，S1到P点的距离是r1，S2到P点的距离是r2，则P点干涉极大的条件是 (A)
(B)
(C) (D)
7. 两相干波源S1和S2相距 λ /4（λ为波长），S1的相位比S2的相位超前
点）两波干涉叠加的结果是
(A) 干涉极大
(B) 干涉极小
(C) 有些点干涉极大，有些点干涉极小
(D) 无法确定
8. 在波长为λ的驻波中，任意两个相邻波节之间的距离为
(A) λ (B) 3λ /4(C) λ /2 (D) λ /4
二. 填空题 ，在S1、S2连线上，S1外侧各点（例如P
9. 一声波在空气中的波长是0.25m，传播速度时340m/s，当它进入另一种介质时，波长变成了0.37m，则它在该介质中的传播速度为__________________.
10. 平面简谐波沿x轴正向传播，波动方程
为，
则处质点的振动方程为_________________， 处质点与处质点振动的相位差为_______.
11. 简谐波沿 x轴正向传播，传播速度为5m/s ，原点O振动方程为(SI)，则
处质
点的振动方程为_____________________.
12. 一平面简谐波周期为2s，波速为10m/s，A、B是同一传播方向上的两点，间距为5m，则A、B两点的相位差为_______________.
13. S1、S2是两个相干波源，已知S1
初相位为
_______________.
14. 如图，波源S1、S2发出的波在P点相遇，若P点的合振幅总是极大值，则波
源S1的相位比S2的相位领先_____________________.
三. 计算题
15. 一横波沿绳子传播时的波动表式为 ，若使S1S2连线中垂线上各点均干涉相消，S2的初相位为y?0.05cos(10?t?4?x)[SI] . 求：
（1）此波的振幅、波速、频率和波长; （2）绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度;
16. 波源做简谐振动，振幅为0.1m，振动周期为0.01s.
以它经过平衡位置向正方向运动时为计时起点，若此振动以
的速度沿直线传播，求距波源8m处P点的振动方程.
17. 如图，一平面波在介质中以速度u
以a为坐标原点写出波动方程；
（2）以与a点相距5m处的b点为坐标原点，写出波动方程．
?20m?s?1沿x轴负方向传播，已知a点的振动表式为ya?3cos4πt [SI]（．1）
篇三：大学物理机械振动电子版习题
机械振动
班级： 09—通信2班 学号： 20092201 姓名：韩钰
一． 选择题
1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动？ （A）小球在地面上做完全弹性的上下跳动
（B）细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动
（C）浮在水面的一均匀矩形木块，将他部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 （D）浮在水面的一均匀球块木块，将他部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 [ C ] 解析：（A）中不是往复运动，（B）不能做大角度的大角度的来回摆动
（D）球体是非线性体，故其做振动但不是简谐振动
2. 如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动，若从松手
时开始计时，则该弹簧振子的初相应为 图1
（A）0 （B）?/2 (C )??2 (D )? [ D] 解析：利用旋转矢量法可得答案。
3. 一质量为m的物体挂在劲度系数为k的轻弹簧下面，其振动周期为T，若将此弹簧分割
为3等份，将一质量为2m的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （A）3T
6(B )6T( C)2T (D )6T [ B ]
解析：弹簧分割三份后其K变为3K，物体质量变为2M，有T?2?
m
可得答案为B。 k
4. 两相同的轻弹簧各系一物体（质量分别为m1,m2）做简谐振动（振幅分别为A1,A2），
问下列哪一种情况两振动周期不同？
（A）m1?m2,A1?A2,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上振动 （B）m1?2m2,A1?2A2,两个都在光滑平面上作水平振动 （C）m1?m2,A1?2A2,两个都在光滑平面上作水平振动
（D）m1?m2A1?A2一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作竖直振动[ B ] 解析：利用T?2?
m
可判断选项B正确。 k
5. 一个质点做简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时
间为t0，则该质点的振动周期T应为
(A) 4t0 (B ) 12t0 (C) 6t0 (D) 8t0 [ B ] 解析：利用旋转矢量法。
6. 已知月球上的重力加速度为地球的，若一个单摆（只考虑小角度摆动）在地球上的
震动周期为T，将该单摆拿到月球上去，其震动周期应为 （A）6T (B) T6(C) 解析：利用T?2?
6T (D) T6 [ C ]
l
可得正确答案。 g
7. 一简谐振动的旋转矢量图如图2所示，设图中圆的半径为R，则该简谐振动的振动方程
为
?t??4) （B）x?Rsin(?t??4) （A）x?Rcos(
?t??4) (D) x?Rcos(?t2??4)
（C）x?Rcos(
[ A ] 解析：有原图可知???，??
?
4
，所以得到A。
8. 已知某简谐振动的振动曲线如图3所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振
动的振动方程为
11?t24?2?)(SI) (B)x?10cos(7?t24?7?)(SI) (A)x?10cos(
11?t24?2?)(SI)[ C ] (C)x?10cos(7?t24?2?3)(SI)(D)x?10cos(
解析：A=10，带入点（0，-5），（4,0）可得振动方程式C。
9. 某弹簧振子的振动曲线如图4所示，则由图可确定t=2s时，振子的速度为
(A)3?s (B) ?3?s (C)3s(D) ?3ms[ A ]
图4
解析：振子的振动方程是x?6t?
??
2
2
)所以t=2s 时，v?3?.
10. 一质量为m的物体与一个劲度系数为k的轻弹簧组成弹簧振子，当其振幅为A时，该弹
簧振子的总能量为E。若将弹簧分割成2等份，将两弹簧并联组成新的弹簧振子，则新的弹簧振子的振幅为多少时，其总能量与原先弹簧振子的总能量E相等
(A)2 (B)4(C)解析：E? 11. 两
2(D)A[ A ]
1KA22
方
向
当K变为4K时，A变为
A
，才能保证总能量E不变。 2
谐
振
动
的
振
动
方
程
为
同同频率的简
x1?6cos(5t??2)(SI),x2?2cos(5t??2)(SI),，则它们合振动的振动方程为
(A:)x?4cos5t(SI)(B)x?8cos(5t??)(SI)
10t??2)(SI) (D) x?4cos(5t??2)(SI) [D] (C)x?4cos(
解析：做矢量图更简便。
12. 已知两同方向同频率的简谐振动的振动方程分别为
x1?A1cos(?t??)(SI),x2?A2cos(?t??6)(SI),，则它们的合振幅为
(A) |A1?A2| (B) A1?A2 (C)
A1?A2 (C)A1?A2|[C]
2
A12?A2
2222
解析：两个振动方向垂直，所以合振幅是二．
填空题
?t??0)的周期为T，1.若简谐振动x?Acos(则简谐振动x?Bcos(n?t??0??)的周期
为
'
1
T n
2．一质点做简谐振动，已知质点在一个周期内相继经过距离为S的两点A,B，历时T，且质点在A点和B点的速度相同；在经过T后，质点又一次经过B点，则该质点运动的周期为4T ，振幅为
2S 2
解析：因为质点在S处VA?VB，所以A，B为相对平衡位置对称的两点，故可以列（1） ，又因为再经过T，质点有经过B，故可以列（2），（3）中T0为周期
??2(?t??0)??T(1)2(?t??0)??T(2)
2?T0?(3)
?
得到T0?4T
又
ST
?Acos(???)22
?T?
2?
2S 2
所以得A?
?t??0)的周期为T，在t=T/2时质点的速度为 3.已知简谐振动x?Acos(
?A?sin(???0)，加速度为?A?2cos(???0)。
4.已知一弹簧振子由3kg的物体与劲度系数为k?12Nm组成，其振幅为2m，沿x轴运动，并从物体处于最大位移处时开始计时，则其圆频率为 2rad?s，初相为其振动方程为x(t)?2cos2t，t??8s时，作用于该物体的力的大小为122
?1
N，方向
为 沿x 负方向
5. 一简谐振动的振动曲线如图5所示，则由图可得其振幅为，其初相为
522
?，其周期为4.8 s ，其振动方程为0.1?t??)
1233
图5
6.已知一简谐振动的振动方程为x?2cos(t??2)，请在图6中分别画出位移，速度，加速度曲线。
解析：V??2sin(t?
?
2
)a??2cos(t?
?
2
)
7.如图7所示，初始时两质量均m为的无粘合的物体A,B向右压缩劲度系数为k的弹簧，然后放手，则物体A第一次到达正最大位移处所用时间为
?
2m
(2?1)。若初始时弹簧k
被压缩x0，则物体A第一次到达正最大位移处时B物体的速度为x0
k。m
图7
T0?2m?42k?T0m?m
T0??2?T2??
k42k
解析:
?m
t?T1?T2?2?1
2k
T0?2?
2mk
T1?
?
121
Kx0??2m?v222
v?x0
k
2m
8.质量为m的物体与劲度系数k为的弹簧组成弹簧振子的振动动能的变化频率为
1
?
k，m
其势能的变化频率为
1
?
k m
《大学物理机械振动》出自：百味书屋
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