强力推荐人教版数学高中必修5习题
第二章 数列
1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )．
A．667B．668C．669D．670
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )．
A．33B．72 C．84D．189
3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )．
A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为
｜m－n｜等于( )．
A．1B．313C．D．8421的等差数列，则 4
5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ).
A．81 B．120 C．168 D．192
6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．
A．4 005B．4 006C．4 007D．4 008
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( )．
A．－4B．－6C．－8D． －10
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若
A．1B．－1 C．2D．1 2
a2?a1的值是( )． b2a5S5＝，则9＝( )． a3S599．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则
A．11111B．－C．－或D． 42222
210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝( )．
第 1 页 共 9 页
A．38B．20 C．10D．9
二、填空题
11．设f(x)＝1
2?x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋
f(5)＋f(6)的值为12．已知等比数列{an}中，
(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝ ．
(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝ ．
(3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.
82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ． 23
14．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 .
15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ .
16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝；当n＞4时，f(n)＝ ．
三、解答题
17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.
(2)已知
第 2 页 共 9 页 111b?cc?aa?b，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcabc
18．设{an}是公比为 q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝
求证：数列{
20．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.
第 3 页 共 9 页 n?2Sn(n＝1，2，3…)． nSn}是等比数列． n
第二章 数列
参考答案
一、选择题
1．C
解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．
2．C
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，
即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．
解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．
3．B．
解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．
又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．
4．C
解析：
解法1：设a1＝
中两根之和也为2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，
∴d＝
∴11735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根． 244441111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝04444715，分别为m或n， 1616
第 4 页 共 9 页
∴｜m－n｜＝1，故选C． 2
解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n． 由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝差数列为1357，，，， 4444
715，n＝， 1616
1． 27，于是可得等4∴m＝∴｜m－n｜＝
5．B
解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27， a29
∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，
3－35240∴S4＝＝＝120． 1－32
6．B
解析：
解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.
∴S4 006＝
∴S4 007＝4006(a1＋a4006)2＝4006(a2003＋a2004)2＞0， 40074007·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0， 22
故4 006为Sn＞0的最大自然数. 选B．
解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，
0，a2 004＜0，
∴S2 003为Sn中的最大值．
∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， ∴4007在对称轴的右侧． 2(第6题
) 同解法1的分析得a2 003＞根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧
第 5 页 共 9 页 零点B的左侧，4 007，4
篇二：高中数学数列习题(含答案)
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{n(n?1)}中的一项 （ ） （A）380 （B）39（C）35 （D）23 2．在等差数列{an}中，公差d?1，a4?a17?8，则a2?a4?a6???a20的值为（）
（A）40（B）45（C）50 （D）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（） （A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和
为24，则此等比数列的项数为（ ） （A）12 ,ac=-9 5．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ ）
A.40B.42C.43 D.45
6．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）
A.5 B.4 C. 3D. 2
7．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ ） A. 81 B. 2727 C.
3 D. 243
8． 在等比数列?an?中,a1?2,前n项和为Sn,若数列?an?1?也是等比数列,则Sn等于（ ）
(A)2
n?1
?2(B) 3n (C) 2n (D)3n?1
9．设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13?（ ）
A．120B．105 C．90 D．75 10．设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（） A．8B．7 C．6 D．5
S31S6
11．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝ ＝ （ ）
S63S123111
（A） （B）（C） （D）
10389二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列{an}中，an?
1n?n?1
，且Sn?9，则n?．
2．等比数列{an}的前三项为x，2x?2，3x?3，则a4?
3． 若数列?an?满足：a1?1,an?1?2an.n?1，2，3….则a1?a2???an?. 4．设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝ . 5．在数列{an}中，若a1?1，an?1?an?2(n?1)，则该数列的通项an? 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?
20
，求?an?的通项式。 3
2．设等比数列?an?的前n项和为Sn，S4?1,S8?17,求通项公式an??
3． 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 4．数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn
答案
A B D C B C A C B D A
4.解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B
8【解析】因数列?an?为等比，则an?2q则
n?1
，因数列?an?1?也是等比数列，
(an?1?1)2?(an?1)(an?2?1)?an?12?2an?1?anan?2?an?an?2?an?an?2?2an?1?an(1?q?2q)?0?q?1
2
即an?2，所以Sn?2n，故选择答案C。
9【解析】?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则
a2?5
，
a1a3?(5?d)(5?d)?16，∴ d=3，a12?a2?10d?35，a11?a12?a13?105，选B.
11解析:由等差数列的求和公式可得
S33a1?3d1??,可得a1?2d且d?0 S66a1?15d3
所以
S66a1?15d27d3???,故选A S1212a1?66d90d10
填空题
272n?1
?2n?1 54 2n－1 99 ?
2?12
3解：数列?an?满足：a1?1,an?1?2an, n?1，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴
2n?1
?2n?1. a1?a2???an?
2?1
4解：设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，由题意得4a1?
4(4?1)
d?14, 2
10(10?1)7(7?1)9(9?1)[10a1?d]?[7a1?d]?30，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝9?2??1?54
222
5解：由an?1?an?2(n?1)可得数列{an}为公差为2的等差数列，又a1?1，所以an?2n－1
解答题
a2
1解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2== , a4=a3q=2q
qq2201
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
q33
11－18－
当q1=1=18.所以 an=18×()n1=－ = 2×33n.
33322－
当q=3时, a1= , 所以an×3n－1=2×3n3.
99
a1(q4?1)
?1…① 2解：设{an}的公比为q，由S4?1,S8?17知q?1，所以得
q?1a1(q8?1)q8?1
?17……②由①、②式得整理得4?17解得q4?16
q?1q?1
所以 q＝2或q＝－2
12n?1
将q＝2代入①式得a1?，所以a?
1515
1(?1)n?2n?1
将q＝－2代入①式得a1??，所以an?
55
3解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
4解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?，两式相减得an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?
又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an?3n?1 （Ⅱ）设?bn?的公差为d
由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5 故可设b1?5?d,b3?5?d又a1?1,a2?3,a3?9
由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3? 解得d1?2,d2?10 ∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0∴d?2 ∴Tn?3n?
2
n?n?1?2
?2?n2?2n
篇三：精选高中数学数列分类典型试题及答案
精选高中数学数列分类典型试题及答案
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质
n?1
{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足
（1）求a2,a3；
3n?1an?
2. （2）证明：
2
解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.
n?1
a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)
?a1?3
n?1
?3
n?2
3n?13n?1???3?1?a?
2， 所以证得n2.
例题2. 数列?（Ⅰ）求?
an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1)
bn?的各项为正，a?1,22b3,a3?b其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b
an?的通项公式；
（Ⅱ）等差数列?成等比数列，求Tn.
解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，
a又a2?2S1?1?3∴a2?3a1故?n?是首项为1，公比为3的等比数列
∴an?3
n?1
（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5
故可设b1?5?d,b3?5?d，又a1?1,a2?3,a3?9，
2
由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)，解得d1?2,d2?10
∵等差数列?∴
bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2
Tn?3n?
n(n?1)
?2?n2?2n2
例题3. 已知数列?⑴求数列?
an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且a1?2a2?22a3?...
?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn是等差数列.
??
an?与?bn?的通项公式；
?
⑵是否存在k?N，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.
n?12n?12an??a?2a?2a?...?2a?8n23n点拨：（1）1左边相当于是数列前n项和的形式，
可以联想到已知Sn求an的方法，当n?2时，Sn?Sn?1?an.
（2）把bk?ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk?ak的取值情况.
n?12
解：（1）已知a1?2a2?2a3???2an?8n(n?N*）①
2n?2
n?2时，a1?2a2?2a3???2an?1?8(n?1)(n?N*）②
4?nn?1
a?22a?8nn①－②得，，求得，
在①中令n?1，可得得a1?8?2
4?n
4?1
，
所以an?2(n?N*）.
由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2， ∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2， ∴bn?1?bn
??4?(n?1)?2?2n?6，
bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)
24?k
（2）bk?ak?k?7k?14?2，
?(?4)?(?2)???(2n?8)?n2?7n?14(n?N*）.
77
f(k)?(k?)2??4?k
242单调递增，且f(4)?1， 当k?4时，
所以k?4时，f(k)?k?7k?14?2
又f(1)?f(2)?f(3)?0，
2
4?k
?1，
所以，不存在k?N*，使得bk?ak?(0,1).
例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得：
2bn+1 = an+1 + an+2 ①a2n+1 = bnbn+1 ②
∵ an、bn为正数， 由②得an?1?bnbn?1,an?2?bn?1bn?2， 代入①并同除以bn?1得： 2bn?1?n?bn?2 ， ∴ n}∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ，
2a2?b1b2,则b2?
9
2 ，
92(n?1)2
bn?2?(n?1)(?2)?(n?1),?bn?
222 ， ∴
n(n?1)
an?nbn?1?
2∴当n≥2时，， n(n?1)an?
2又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴
2. 研究前n项和的性质 例题5.
n
已知等比数列{an}的前n项和为Sn?a?2?b，且a1?3.
（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；
nbn?
an，求数列{bn}的前n项和Tn. （2）设
解：（1）n?2时，an?Sn?Sn?1?2
n?1
n?1
?a.而{an}为等比数列，得a1?21?1?a?a，
又a1?3，得a?3，从而an?3?2.又?a1?2a?b?3,?b??3. nn123nbn??T?(1?????)n?1n2n?1a3?2n3222（2），
11123n?1n11111n
Tn?(?2?3???n?1?nTn?(1??2???n?1?n)2322222） ，得232222， 1
1?(1?n)2?n]?4(1?1?n)Tn?[
31?12n32n2n?1
2.
1
例题6. 数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足
1
bk?(lga1?lga2???lgak)*
(k?N)， k
（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.
的等差数列，
∴
4?n
a?10解：（1）由题意：n，∴lgan?4?n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为?1
?
lga1?lga2???lgak?3k?
k(k?1)1n(n?1)7?n
bn?[3n?]?
2，∴n22
?bn?021?S?S?67
2. 由?bn?1?0，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为
（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0，
7?n3?
)n??1n2?13nSn??b1?b2???bn?(
244 ∴当n?7时，当n?7时，
2
Sn??b1?b2???b7?b8?b9???bn?2S7?(b1?b2???bn)?4n?4n?21
?1213
?n?n(n?7)??44Sn???
?1n2?13n?21(n?7)?4?4∴.
113
例题7. 已知递增的等比数列{an}满足a2?a3?a4?28，且a3?2是a2，a4的等差中项. （1）求{an}的通项公式an；（2）若
bn?anlog1an，S?b?b???b求使
n12n
2
Sn?n?2n?1?30成立的n的最小值.
解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
1a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=2
∴an=2·2
（n－1）
（舍）
=2n
2（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.
bn?anlog1an??n?2n
*
例题8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且?1,Sn,an?1成等差数列，n?N,a1?1. 函数f(x)?log3x.
（I）求数列{an}的通项公式； （II）设数列{bn}满足
bn?
1
(n?3)[f(an)?2]，记数列{bn}的前n项和为T，试比较
n
52n?5Tn与?
12312的大小. 解：（I）??1,Sn,an?1成等差数列，?2Sn?an?1?1① 当n?2时，2Sn?1?an?1②.
①－②得：2(Sn?Sn?1)?an?1?an，?3an?an?1，当n=1时，由①得?2S1?2a1?a2?1， 又a1?1,
?
an?1
?3.an
?a2?3,?
a2
?3,a1
?{an}是以1为首项3为公比的等比数列，?an?3n?1.
n?1
（II）∵f?x??log3x，?f(an)?log3an?log33?n?1，
11111
bn???(?)
(n?3)[f(an)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3，
1111111111111?Tn?(?????????????)
224354657nn?2n?1n?3
2n?511111?5?
?(???)122(n?2)(n?3),223n?2n?3
52n?5Tn与?
12312的大小，只需比较2(n?2)(n?3)与312 的大小即可. 比较
又2(n?2)(n?3)?312?2(n2?5n?6?156)?2(n2?5n?150)?2(n?15)(n?10)
52n?5
2(n?2)(n?3)?312,即Tn??;**
n?N,1?n?9且n?N12312 ∵∴当时，
52n?5
2(n?2)(n?3)?312,即Tn??;
n?1012312 当时，
52n?5
2(n?2)(n?3)?312,即Tn??*
12312. 当n?10且n?N时，
3. 研究生成数列的性质
nn
例题9. （I） 已知数列?cn?，其中cn?2?3，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常数p；
（II） 设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是
等比数列.
解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 ＋＋
[2n1+3n1－p（2n＋3n）]2
＋＋－－
=[2n2+3n2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n1＋3n1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2
－－
=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n1+（3－p）3n1]，
1
整理得6（2－p）（3－p）·2n·3n=0，
解得p=2或p=3.（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证c2≠c1·c3.
事实上，c2=（a1p＋b1q）2=a1p2＋b1q2＋2a1b1pq，
c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= a1p2＋b1q2＋a1b1（p2＋q2）. 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，
2c因此2?c1·c3，故{cn}不是等比数列.
2
2
2
2
2
2
例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成
13a42?,a43?
816a24=1，
求S=a11 + a22 + a33 + ? + ann 解： 设数列{a1k}的公差为d， 数列{aik}（i=1，2，3，?，n）的公比为q
则a1k= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk1－
?
?a24?(a11?3d)q?1?
1?3
?a42?(a11?d)q?
8?
3?13
a?(a?2d)q?11?43
16，解得：a11 = d = q = ±2依题意得：?
又n2个数都是正数，
1k
k
∴a11 = d = q = 2 ， ∴akk = 2S?
1111?2?2?3?3???n?n2222， 11111S?2?2?3?3?4???n?n?122222，
《高中数学数列习题》出自：百味书屋
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