篇一:平面解析几何的公式与结论
平面解析几何的公式与结论
1.直线的五种方程
(1)点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k). (2)斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y?y1y2?y1x?y
?
x?x1x2?x1
(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).
?1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b?0) ab
(5)一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
2.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2?
A1A2
?B1B2
?C1C2
;
②l1?l2?A1A2?B1B2?0; 3.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为
(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线
Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线Ax?By?C?0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量.
4.点到直线的距离
d?
|Ax?By?C|
结论:若直线Ax?By?C?0穿过线段AB (其中A(X1,Y1)B(X2,Y2))则直线分AB的比值为
(点P(x0,y0),直线l:Ax?By?C?0).
λ=-
Ax1?By1?CAx2?By2?C
5. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域
设直线l:Ax?By?C?0,则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是:
若B?0,当B与Ax?By?C同号时,表示直线l的上方的区域;当B与Ax?By?C异号时,表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B?0,当A与Ax?By?C同号时,表示直线l的右方的区域;当A与Ax?By?C异号时,表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
6. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
(2)圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F>0).
2
22
2
2
22
(3)圆的参数方程 ?
?x?a?rcos??y?b?rsin?
.
(4)圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). 7. 圆系方程
(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0
?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,λ是待定的系
数.
(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
x?y?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数.
2
2
(3) 过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程是
x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数.
2
2
2
2
8.点与圆的位置关系
点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种
若d?
2
2
2
d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内. 9.直线与圆的位置关系
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.
Aa?Bb?CA?B
2
2
其中d?.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2?d d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.
11.圆的切线方程
(1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0.
①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是 x0x?y0y?
D(x0?x)
2
?
E(y0?y)
2
?F?0.
?
E(y0?y)
2
?F?0表示过两个切点的切点弦方程.
2
2
当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?
D(x0?x)
2
②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆x?y?r.
2
2
2
①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r; ②斜率为k
的圆的切线方程为y?kx?2
第一讲 直线与圆
一、选择题
1.已知直线l1的方向向量a=(1,3),直线l2的方向向量b=(-1,k).若直线l2经过点 (0,5)且l1⊥l2,则直线l2的方程为 ( ) A.x+3y-5=0 B.x+3y-15=0
C.x-3y+5=0 D.x-3y+15=0 解析:∵l1⊥l2,∴a·b=0.
11
-1,. ∴-1+3k=0,∴k=,∴b=?3?31
∴l2方程为yx+5,
3即x+3y-15=0. 答案:B
xy
2.若直线=1通过点M(cos α,sin α),则( )
abA.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 1111C.1D.1 abab
xy
解析:直线+1通过点M(cos α,sin α),我们知道点M在单位圆上,此问题可
abxy
转化为直线+1和圆x2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离
ab公式有
|-1|11
1?+≥1,故选D.
abab
答案:D
3.(2010·福建)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ( ) A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0 C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0
解析:∵抛物线y2=4x的焦点为(1,0),∴满足题意的圆的方程为(x-1)2+y2=1,整 理得x2+y2-2x=0,故选D. 答案:D
4.(2010·江西)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥3, 则k的取值范围是 ( ) 33
-,0? B.?∪[0,+∞) A.?4?4??
|3k+1| k+1
解析:圆心(3,2)到直线的距离d=
则|MN|=2
4-?
?|3k+1|2
?k+1?
=-5k-6k+33
23,解得-k≤0,故选A. 4k+1
答案:A
5.(2010·湖北)若直线y=x+b与曲线y=34x-x有公共点,则b的取值范围是( ) A.[1-22,1+22] B.[12,3] C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
解析:y=34x-x变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3) 为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.
若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之 间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2, 即
|2-3+b|
2,解得b=1-22或b=1+22(舍去),∴b的取值范围为1-2 2
≤b≤3.故选D. 答案:D 二、填空题
6.(2009·全国Ⅰ)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段
的长为22,则m的倾斜角可以是: ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号). 解析:两直线x-y+1=0与x-y+3=0之间的距离为
|3-1|
=2,又动直线l1与l2 2
所截的线段长为22,故动直线与两线的夹角应为30°,因此只有①⑤适合. 答案:①⑤
7.(2009·四川理)若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点, 且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________. 解析:
高而基培训中心内部资料
如图所示,在Rt△OAO1中, OA5,O1A=5,∴OO1=5, ∴AC5×25
=2, 5
∴AB=4. 答案:4
8.(2010·课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方 程为________.
解析:由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.① 过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为 y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②
??x=3,联立①②解得?
?y=0,?
所以圆心坐标为(3,0),
半径r=?4-3?+?1-0?2,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2. 答案:(x-3)2+y2=2
9.(2010·山东)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C 所截得的弦长为2
2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为
______________________________________________________________________.
解析:设圆心A(x0,0),x0>0,r=|AC|=x0-1,|BC|2,由直线l方程可知∠BCA =45°,所以r=2,x0=3,∵l⊥AB,∴kAB=-1,AB方程为y=-1(x-3),即x+y -3=0.
答案:x+y-3=0 三、解答题
10.已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.
(1)求直线l斜率的取值范围;
篇二:%A6+解析几何部分公式、方法、技巧荟萃
解析几何部分公式、方法、技巧荟萃
《直线和圆的方程》
(1)①与直线Ax?By?C?0平行的直线方程为:Ax?By?m?0(m?C) 与直线y?kx?b平行的直线为:y?kx?m(m?b)②与直线Ax?By?C?0垂直的直线方程为:Bx?Ay?m?0 与直线y?kx?b(k?0)垂直的直线为:y??
1kx?m
(2
(3 (4)l1 l1(5 AB?
2?x1?(此即弦长公式)
【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用,但在抛物线的焦点弦问题上,最好能从焦
半径公式入手简化计算量,另外用该公式时,求出值往往要用判别式验证。
(6)①点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?
0的距离d?
②两平行直线l1:Ax?By?C1?0与l2:Ax?By?C2?0的距离:
d?
(注意:应用该公式时一定要使得l1与l2的A,B一致)
(7)① 求曲线C1:f(x,y)?0关于点(x0,y0)对称的曲线C2:
在曲线C2上任取一点(x,y)关于(x0,y0)对称的点为(2x0?x,2y0?y)代入曲线
(8 ?22
(9)①二元二次方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0表示圆??B?0
?22
?D?E?4AF?0
②二元二次方程x?y?Dx?Ey?F?0表示圆?D?E?4F?0
2222
其中圆心为(?
D2
,?
E2
),半径为r?
2
(10)已知点P(x0,y0)在圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的外部,过P作圆的切线,切点分
别为A,B
,则切线长PA?PB?
(11)若直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2有公共点,
则 (即圆心到直线的距离小于或等于半径!)
(12)给定点P(x0,y0)和圆(x?a)2?(y?b)2?r2,则:
?r
【(13 ① ②(14【推广】过两曲线C1:f(x,y)?0与C2:g(x,y)?0的曲线系方程为: f(x,y)???g(x,y)?0(不含曲线C2)
2222
(15)过两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0与C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交点
的直线(公共弦)的方程为:(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0
《椭圆》
(1)椭圆的一般式方程:mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n) (2)椭圆的面积公式S??ab
(3)① 椭圆的第一定义:PF1?PF2?常数(即2a)?定点距离(即2c)
(其中F1,F2称为焦点,a为长半轴长,c为半焦距,P为椭圆上任一点)
②
(3 a(4 (5(6) (7)??(0?P?FQ
2
)(只需证明P?F?Q?F?0即可!)
2
(8)已知P为椭圆上任一点,?F1PF2??,则S?FPF?btan
1
2
?
2
(其中b为短半轴长)
【注】关于?F1PF2,很多资料书称之为焦点三角形,试题经常给定该三角形的一些条
件,求椭圆的离心率、面积、周长等;此时须记:因为它是出现在椭圆里的特殊三角形,所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。
(9)椭圆的通径(过焦点与长轴垂直的弦)端点的坐标是(?c,?
b
2
a
)
《双曲线部分》
(1)双曲线的一般式方程:mx2?ny2?1(mn?0)
xa
22
(2)① 双曲线?
yb
22
??(??0)与双曲线
xa
22
?
yb
22
?1共渐近线为:
xa
?
yb
?0
(3(3(4)双曲线焦半径公式:F1为左焦点(下焦点) F2为右焦点(上焦点) PF1?a?ex0(或a?ey0) PF2?a?ex0(或a?ey0)
篇三:(手打)平面解析几何所有公式
(适合高一)平面解析几何(直线与圆)所有公式 1.两点间距离公式:两点A?x1,y1?,B?x2,y2?.
AB?
x
2
?x1?y2?y1
2
2
2.点到直线距离公式:P?x0,y0?,直线Ax?By?C?0.
Ax0?By0?C
d? 22
A?B
x1?y1x2?y2??
3.中点坐标:A(x,y)和B?x,y?的中点坐标为?,?
2??2
(x?x)4.斜率公式: ①已知两点A?x1,y1?,B?x2,y2?,
1
1
2
2
1
2
y2?y1
则k?
x2?x1
②已知倾斜角?,则k
?tan?
5.斜率的取值范围:k????,??? 6.倾斜角范围:??
?0,180?
?
?
7.直线方程的五种形式:
(1)点斜式方程:点A?x0,y0?, 斜率k.y?y0?k?x?x0? (2)斜截式方程:斜率k,截距b.[或给点?0,b?].※截距b是坐标,有+,有-,有0。y?kx?b
(3)两点式方程:A(x1,y1),B?x2,y2? (x1?x2且y1?y2)
y?y1x?x1 则(x?x,且y?y) ?
y2?y1x2?x1
1
2
1
2
(4)截距式方程.横截距a,纵截距b[或给点?a,0?,?0,b?]
xy
则??1(a?0且b?0) ab
(5)一般式方程:适合与所有条件,最后统一写成方程形式
Ax?By?C?0(A2?B2?0)
8.两条直线的位置关系
(1)相交?(一般式)A1B2?A2B1?0
A1B1
?(一般式)?(A2B2?0)
A2B2
?(斜截式)k1?k2
(2)平行?(一般式)A1B2?A2B1?0且B1C2?C1B2?0或 A2C1?A1C2?0
A1B1C1
?(一般式)??(A2B2C2?0)
A2B2C2
?(斜截式)k1?k2且b1?b2
(3)重合?(一般式)A1??A2,B1??B2,C1??C2(??0)
A1B1C1
?(一般式)??
A2B2C2
?(一般式)A1B2?A2B1?0且B1C2?C1B2?0或 A2C1?A1C2?0 ?(斜截式)k1?k2且b1?b2 (4)垂直?(一般式)A1A2?B1B2?0 ?(斜截式)k1k2??1
9.一般式方程Ax?By?C?0(B?0,保证斜率k存在)与斜截
AC
式方程y?kx?b关系:k??,b??
BB
10.常用结论
(1)与Ax?By?C?0平行的直线方程为
Ax?By?D?0(D?C)※必须写 Bx?Ay?D?0
(2)与Ax?By?C?0垂直的直线方程为
(3)两条平行直线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0之间的
C1?C2
距离d? 22
A?B
11.圆的方程
(1)标准方程:?x?a???y?b??r。适用于给圆心?a,b?,
2
2
2
半径r的情况(2)一般方程:x
2
?y2?Dx?Ey?F?0。适用于过三点的情
2
?DE?
况。是圆前提:D?E?4F?0.圆心坐标??,??.半径
?22?
D2?E2?4F
r?
2
222
12.点与圆的位置关系:点?x,y?.圆?x?a???y?b??r
2
(1)点在圆上??x
2
????a?y?b?r 00
2
2
(2)点在圆内??x0(3)点在圆外??x0
13.直线与圆的位置关系
?a???y0?b??r2
2
2
?a???y0?b??r2
2
2
由直线l与圆C的方程联立方程组 我们有如下结论:
其中d为圆心到直线的距离. 14.圆与圆的位置关系
其中d为两圆圆心的距离. 一、方法总结 1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种.判别式法:联立直线与圆的方程,根据方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系.
几何法:计算圆心到直线的距离d,与圆的半径r比较大小,根据两者的大小关系判断直线与圆的位置关系.
2.圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系一般用几何法,具体如下: (1)把圆的方程化为标准方程,得到两圆的圆心和半径; (2)计算两圆的圆心距;
(3)根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系. 3.圆的切线
(1)求过圆C外一点P?x0,y0?的切线方程的方法:
设切线为y?y0?k?x?x0?,由圆心C到切线的距离等于圆的半径
r,列方程求k,若有两解即得切线方程,若有一个解,则另一条为
x?x0
代数法:设切线为y?y0?k?x?x0?,与圆的方程联立,消元,由
??0求出k,若有两解即得切线方程,若只有一解,则另一条为
x?x0.
(2)求过圆C上的一点P?x0,y0?的切线方程的方法:圆心C?a,b?,
1
k??,则切线方程为y?y?k?x?x?.特别的,如果直线PC
kPC
的斜率不存在,则切线方程为y?y0,如果直线PC的斜率为0,则切线方程为x?x0. 4.圆的弦长
求直线被圆所截得弦长的方法:
(1)代数法:对于容易求出直线与圆的两个交点坐标的题目,我们可以先求出这两个交点的坐标,再求这两点间的距离.
(2)几何法:求出弦心距d和圆的半径r,利用勾股定理来求弦长
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