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集合的运算教案

2016-10-12 10:39:30 来源网站: 百味书屋

篇一:集合的运算教案

1.2.2 集合的运算

第1课时 交集与并集

【学习要求】

1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集.

2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果,体会直观图对理解抽象概念的作用.

3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确进行集合的交集与并集运算.

【学法指导】

通过观察和类比,借助Venn图理解集合的交集及并集运算,培养数形结合的思想;体会类比的作用;感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性.

填一填:知识要点、记下疑难点

1.交集的定义:一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.即A∩B= {x|x∈A且x∈B}.

2.交集的性质:(1)A∩B= B∩A ;(2)A∩A=A ;

(3)A∩?=?∩A=? ;(4)如果A?B,则A∩B=A .

3.并集的定义:一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.即A∪B= {x|x∈A或x∈B} .

4.并集的性质:(1)A∪B= B∪A ;(2)A∪A=A ;(3)A∪?=?∪A=A ;(4)如果A?B,则A∪B=B .

研一研:问题探究、课堂更高效

[问题情境] 两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加减法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题.

探究点一 交集

问题1 你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?

(1)A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,8},C={3,4,5};

(2)A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0<x≤3};

(3)A={x|x为高一(4)班语文测验优秀者},B={x|x为高一(4)班英语测验优秀者},C={x|x为高一(4)班语文、英语测验优秀者}.

答:通过观察得出集合C由集合A和集合B中的相同的元素构成.

问题2 在问题1中,我们称集合C为集合A、B的交集,那么如何定义两个集合的交集?

答:交集的定义:一般地,对于给定的集合A,B,由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

问题3 如何用集合语言表示直线l与⊙O相交于两点A,B?

答: l∩⊙O={A,B}

问题4 对于任意两个集合A,B,它们的交集有怎样的性质?

答:A∩B=B∩A, A∩B?A,A∩B?B.

问题5 如何用Venn图表示集合A∩B?

答:集合A∩B为下图所示的阴影部分.

问题6 A∩B=A可能成立吗?A∩B=?呢?

答:都有可能成立.当A?B时,A∩B=A成立;

当集合A、B没有共同的元素时,A∩B=?.

例1 求下列每对集合的交集:

(1)A={x|x2+2x-3=0},B={x|x2+4x+3=0};

(2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8}.

解 (1)A∩B={1,-3}∩{-1,-3}={-3};

(2)C∩D=?

.

小结 两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合,当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.

跟踪训练1 设A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},求A∩Z,B∩Z,A∩B.

解:因为A是Z的子集,B是Z的子集,所以A∩Z=A,B∩Z=B,A∩B={x|x是奇数}∩{x|x是偶数}=?.

例2 已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},求A∩B.

?4x+y=6解:A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}={(x,y)|?}={(1,2)}. ?3x+2y=7

小结:由于集合A和B都是一个二元一次方程的解集,集合A和B的元素是有序实数对,所以A交B为二元一次方程组的解集.

跟踪训练2 已知A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B.

解 A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}.

探究点二 并集

问题1 请同学们考察下列两组集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?

(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.

答:通过观察,得出集合A和集合B的元素放在一起即为集合C的元素.

问题2 在问题1中,我们称集合C为集合A,B的并集,那么如何定义两个集合的并集?

答:一般地,对于两个给定的集合A与B,由两个集合的所有元素构成

的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.即 A∩B={x|x∈A

或x∈B}.

问题3 如何用Venn图表示集合A与B的并集?

答:集合A∪B可用下图(1)或(2)阴影表示.

问题4 如何用并集运算符号表示问题1中A,B,C三者之间的关系?

答:A∪B=C.

问题5 集合的并集有什么性质?

答:(1)A∪B=B∪A,(2) A∪A=A;(3)A∪?=?∪A=A;

(4) 如果A?B,那么A∪B=B.

问题6 A∪B=A可能成立吗? A∪B=?呢?

答:都有可能成立.当B?A时,A∪B=A成立;

只有当A=B=?时,A∪B=?.

例3 已知Q={x|x是有理数},Z={x|x是整数},P={x|x是无理数},求Q∪Z,Q∪P.

解:Q∪Z={x|x是有理数}∪{x|x是整数}={x|x是有理数}=Q;

Q∪P={x|x是有理数}∪{x|是无理数}={x|x是实数}.

小结:两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一次.对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.

跟踪训练3 (1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.

(2)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求

A∪B.

解:(1)A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.

(2)A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.

还可以在数轴上表示A∪B,如图.

探究点三 交集、并集的应用

例4 已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若A∪B=A,求实数a的值. 解 ∵A={1,2},A∪B=A,

∴B?A,∴B=?或B={1}或B={2}或B={1,2}.

当B=?时,Δ<0,a不存在,

?Δ=0当B={1}时,??1-a+a-1=0

?Δ=0当B={2}时,??4-2a+a-1=0

?1+2=a当B={1,2}时,?,∴a=3. 1×2=a-1?

综上所述,a=2或a=3.

小结:在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现A∪B=A,或A∩B=B,解答时常转化为B?A,然后用集合间的关系解决问题,运算时要考虑B=?的情况,切记不可漏掉.

跟踪训练4 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.

解:由题意得A={-4,0},因为A∩B=B,所以B?A.

当B=?时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

当B≠?时,若集合B中仅含一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时,B={x|x2=0}={0}?A,即a=-1符合题意.

若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,

即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0,

?-4+0=-2a+1,则有?2?-4×0=a-1,,∴a=2. ,∴a不存在. 解得a=1,

则a=1符合题意.

综上所述,a=1或a≤-1.

练一练:当堂检测、目标达成落实处

1.已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B={1,2,4,6}.

解析: A∪B是由A,B的所有元素组成的.

A∪B={1,2,4,6}.

2.设集合A={y|y=x2,x∈R},B={(x, y)|y=x+2,x∈R}, 则A∩B=__?______.

解析:由于集合A表示的是数集,集合B表示的是点集,因此没有公共元素,故答案为?.

3.设A={x|x>0},B={x|x≤1},求A∩B 和A∪B.

解:A∩B ={x|x>0}∩{x|x≤1}={x|0<x≤1},

A∪B={x|x>0}∪{x|x≤1}=R.

课堂小结:1.对并集、交集概念全方面的感悟

(1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.

“x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A但x?B;x∈B但x?A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.

(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=?.

2.集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”、“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.

(2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值是否取到.

篇二:集合的运算教案

1

【引课】

师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学”. 师:“物以类聚”;“人以群分”;这些都给我们以集合的印象. 引入课题

【新授】

课件展示引例:

(1) 某学校数控班学生的全体; (2) 正数的全体;

(3) 平行四边形的全体; (4) 数轴上所有点的坐标的全体 1. 集合的概念.

(1) 一般地,把一些能够确定的对象看成一个整体,我们就说,这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集).

(2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素.

(3) 集合与元素的表示方法:一个集合,通常用大写英文字母 A,B,C,…表示,它的元素通常用小写英文字母 a,b,c,? 表示. 2. 元素与集合的关系.

(1) 如果 a 是集合 A 的元素,就说a属于A,记作a?A,读作“a属于A”. (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a ? A.读作“a不属于A”. 3. 集合中元素的特性.

(1) 确定性:作为集合的元素,必须是能够确定的.这就是说,不能确定的对象,就不能构成集合.

(2) 互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象. 4. 集合的分类.

(1) 有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集. (2) 无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集. 5. 常用数集及其记法.

(1) 自然数集:非负整数全体构成的集合,记作 N;

(2) 正整数集:非负整数集内排除0的集合,记作 N+或 N*; (3) 整数集:整数全体构成的集合,记作 Z; (4) 有理数集:有理数全体构成的集合,记作 Q; (5) 实数集:实数全体构成的集合,记作 R.

【巩固】

例1 判断下列语句能否构成一个集合,并说明理由.

(1) 小于 10 的自然数的全体;(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生; (3) 英文的 26 个大写字母; (4) 非常接近 1 的实数. 练习1 判断下列语句是否正确:

(1) 由2,2,3,3构成一个集合,此集合共有4个元素; (2) 所有三角形构成的集合是无限集;

(3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集; (4) 如果a ? Q,b ? Q,则 a+b ? Q. 例2 用符号“?”或“?”填空:

N,N,-,N;,Z,-Z,;

,Q,-,;,,-R,. 练习2 用符号“?”或“?”填空:

1

(1) -;Q;(3) Z;

31

(4) -;(5)

2

【小结】

1. 集合的有关概念:集合、元素. 2. 元素与集合的关系:属于、不属于. 3. 集合中元素的特性.

4. 集合的分类:有限集、无限集. 5. 常用数集的定义及记法.

【作业】

教材P4,练习A组第1~3题

浙江省衢州中等专业学校课时工作计划

2

【引课】

1. 集合、元素、有限集和无限集的概念是什么? 2. 用符号“?”与“?”填空白:

N;

(2) -2 Q; (3)-2 .

师:刚才复习了集合的有关概念,这节课我们一起研究如何将集合表示出来.

【新授】

1. 列举法.

当集合元素不多时,我们常常把集合的元素列举出来,写在大括号“{}”内表示这个集合,这种表示集合的方法叫列举法.

例如,由1,2,3,4,5,6这6个数组成的集合,可表示为:

{1,2,3,4,5,6}.

又如,中国古代四大发明构成的集合,可以表示为: {指南针,造纸术,活字印刷术,火药}.

有些集合元素较多,在不发生误解的情况下,可列几个元素为代表,其他元素用省略号表示.

如:小于100的自然数的全体构成的集合,可表示为 {0,1,2,3,?,99}. 例1 用列举法表示下列集合:

(1) 所有大于3且小于10的奇数构成的集合;(2) 方程 x2-5 x+6=0的解集.解 (1) {5,7,9};(2) {2,3}. 练习1 用列举法表示下列集合:

(1) 大于3小于9的自然数全体; (2) 绝对值等于1的实数全体; (3) 一年中不满31天的月份全体; (4) 大于3.5且小于12.8的整数的全体. 2. 性质描述法.

给定 x 的取值集合 I,如果属于集合 A 的任意元素 x 都具有性质 p(x),而不属于集合 A 的元素都不具有性质p(x),则性质 p(x)叫做集合A的一个特征性质,于是集合 A 可以用它的特征性质描述为 {x?I | p(x)} ,它表示集合 A是由集合 I 中具有性质 p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做性质描述法.

使用特征性质描述法时要注意: (1) 特征性质明确;

(2) 若元素范围为 R,“x?R”可以省略不写.

【巩固】

例2 用性质描述法表示下列集合:

(1) 大于3的实数的全体构成的集合;

篇三:集合的基本运算教案

集合的基本运算教案

教学内容:人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章1.1.3,教材9~12页。

教学目标:1、让学生清楚把握并集、交集、补集的概念。

2、让学生把握如何求出并集、交集、补集。

3、让学生能清楚区分并集、交集、补集,并把握它们之间的关系。

4、培养学生的类比迁移的数学方法,提高学生学习的兴趣。 教学重点:让学生把握如何求出并集、交集、补集。

教学难点:能用图示法表示出集合的关系,能从图示中看出集合的关系。 教学用具:多媒体

教学过程:

一、 导入:同学们,我们之前学习过了数的运算,那么我们的集合是否也具备一些运算呢?好,那我们今天就来研究一下集合的基本运算。

二、 新授:

1、并集

我们知道,实数有加法运算,类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?考察下面的集合,你能说出集合C与集合A、B之前的关系吗?

(1)A=﹛x|x是有理数﹜ B=﹛x|x是无理数﹜ C=﹛x|x是实数﹜

(2)A=﹛1、3、5﹜B=﹛2、4、6﹜C=﹛1、2、3、4、5、6﹜ 让学生根据这个问题各抒己见,教师根据学生的回答,适时引入并集的概念。 同学们,刚才你们发现A和B相加就是C,我们还可以得到这样一种关系:集合C是有所有属于集合A或属于集合B的元素组成,那么像这样由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,我们称为A与B的并集,记做:A∪B,读作:A并B

即A∪B=﹛x|x?A或x?B﹜

韦恩图表示为

那么像刚才我们引入的题目我们就可以有C=A∪B

又C=A∪B同学们能不能得出它们的另一个关系呢?A?C、B?C

教师讲解例4、例5

例4教师向学生提问A∪B=﹛4、5、6、8、3、5、7、8﹜对不对?为什么不对?

(让学生对前面学习集合元素的互异性进行巩固,让学生明白并集并不是两个集合的简单相加)

例5让学生清楚用数轴表示出集合,并能从数轴上看出集合的并集

A∪A=A A∪空集=A ?

2、交集

考察下面问题,集合A、B与集合C之间有什么关系?

(1)A=﹛2、4、6、8、10﹜B=﹛3、5、8、12﹜ C=﹛8﹜

(2)A=﹛x|x是新华中学2004年9月在校的女同学﹜

B=﹛x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级同学﹜

C=﹛x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学﹜

让学生根据这个问题各抒己见,教师根据学生的回答,适时引入交集的概念。 集合C的元素由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作:A?B,读作:A交B

即有A?B=﹛x|x?A且x?B﹜

韦恩图表示为

那么像刚才我们引入的题目我们就可以有C=A?B

那么集合A、B、C之前的另一种关系是什么?C?A、C?B

下列关系成立吗?A?A=A A?空集=A?

3、补集

在我们小学都中学我们学习的数的范围都是在逐步扩大的,想方程(x-2)(x2-3)=0的解集,我们在不同的范围研究我们就会得到不同的解。那么像这种如果一个集合含有我们所研究问题涉及的所有元素,称这个集合为全集,记为?,对于一个集合A,由全集?中不同于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集?的补集,简称为集合A的补集,记为

CUA

即有CUA==﹛x|x∈U且x?B﹜

韦恩图表示为

教师讲解例8、例9,让学生再次明白和区分并集、交集、补集 作业12页1、4练习讲解12页2、3

三、 课堂小结

1、学生小结

2、教师小结:(1)今天我们学习了集合的三种运算,哪三种? 并集A∪B=﹛x|x?A或x?B﹜

交集A?B=﹛x|x?A且x?B﹜

补集CUA==﹛x|x∈U且x?B﹜

四、 知识拓展

集合A=﹛x|-2<x<5﹜, B =﹛x|m+1≤x≤2m-1﹜

(1)若B?A,求实数m的取值范围?

(2) 当x?Z,求A的非空真子集个数,当x?R时,没有元素x使x?A与x?B同时成立,求实数m的取值范围?

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