篇一：参数法求轨迹方程
参数法求轨迹方程
一、教学目标
(一)知识教学点
深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法．
(二)能力训练点
掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性．
(三)学科渗透点
通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法．
二、教材分析
1．重点：运用参数求轨迹方程的方法．
2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论．
3．疑点：设参的基本原则．
三、活动设计
1．活动：问答、思考．
2．教具：投影仪．
四、教学过程
(一)回忆、点题和明确任务
求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．
同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．
(二)讲例1，设参基本原则
请看屏幕(投影，读题)．
例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a＞b，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)．
首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？
学生1答：
选择边界、中心等特殊位置．
那么，这一题如何建立坐标系？
解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系．各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)．
运动系统中，l主动，M、N从动，P随之 运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？
学生2答：
(1)l的纵截距c，
(2)|OM|=t，
(3)|FM|=t．
…
为什么可以这样设参？
一参对一点P，一P对一参，参变化P运动，参固定P静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参．
这就是设参的基本原则．
设|FM|=t，t∈[0，b]，P(x，y)．
学生3答：
不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求．
上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参．参数t∈[0，b]范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性．
l过F时，P合于F，l→OC时，P→B故x≥0，y＞0．
影片，显示轨迹)．
(三)讲例2，选参的一般依据
上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)．
例2 点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．
运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于AB⊥AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？
学生4答：
(2)设点B坐标(t2，t)→kAB→kAC→C→P．
上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂．那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？
学生5答：
解：设B(t12，t1)，C(t22，t2)→P(x，y)．
参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间本身有一个关系，F(t1，t2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t1=f(t2)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的．而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1，t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程．这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来．是否真的如此，算算看：
∵ (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2，
∴ (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]．
即：(y+2)2=x-2．
想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数．
这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立．例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参．
最后来讨论纯粹性和完备性．同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求．而用几何直观也比较困难，把两者结合起来：
篇二：求轨迹方程例题方法解析
求轨迹方程的常用方法
知识梳理：
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：
1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
?x?f(t) 2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)?0表示，又可用参数方程?(t为参数)
?y?g(t)
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
热身：
x2y2
?1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹95
中点的轨迹方程为：
（ ）
x2y242y2x242x2y2
?1B、?y?1 C、??1 D、? A、x?=1
9595920365
【答案】：B
x242
【解答】:令中点坐标为(x,y),则点P 的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得?y?1,选B
95
2. 圆心在抛物线y?2x(y?0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（ ）
A x2?y2?x?2y?
2
2
2
1
?0 4
B x?y?x?2y?1?0 D x2?y2?x?2y?
22
C x?y?x?2y?1?0 【答案】：D
1
?0 4
a2a21
【解答】:令圆心坐标为(,a),则由题意可得a??,解得a?1,则圆的方程为
222x2?y2?x?2y?
1
?0,选D 4
2
2
2
2
3: 一动圆与圆O：x?y?1外切，而与圆C：x?y?6x?8?0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【答案】：D
【解答】令动圆半径为R，则有?
4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线 【答案】：A
?|MO|?R?1
，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
?|MC|?R?1
x?x??x?2x0x2?0
???y2?1【解答】:令M的坐标为(x,y),则?2代入圆的方程中得
4?y?y0?y?y0?
一：用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1：已知?ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足
5
sinB?sinA?sinC,求点C的轨迹。
4
55
【解析】由sinB?sinA?sinC,可知b?a?c?10，即|AC|?|BC|?10，满足椭
44
圆的定义。令椭圆方程为
x2a'
2
?
y2b'
2
?1，则a'?5,c'?4?b'?3，则轨迹方程为
x2y2
。 ??1（x??5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）
259
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1） （2） （3） （4）
圆：到定点的距离等于定长
椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 到定点与定直线距离相等。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
。
，
的圆心为M2，
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为
2
2
2
2
2:一动圆与圆O：x?y?1外切，而与圆C：x?y?6x?8?0内切，那么动圆的圆
心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支
【解答】令动圆半径为R，则有?
?|MO|?R?1
，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
?|MC|?R?1
二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=
11
AB??2a?a, 22
?x2?y2?a,x2?y2?a2
M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了OM=
下列几种情况：
1
AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有2
1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？
22
【解答】∵|PA|=(x?3)?y,|PB|?
|PA|
，?2）
|PB|
(x?3)2?y2
(x?3)2?y2|PA|
代入?2?(x?3)2?y2?4(x?3)2?4y2 ?2得
|PB|(x?3)2?y2
化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
三：用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的
取值范围。
例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【解析】
分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０） 由l1?l2，则直线l2的方程为y?4??
1
(x?2) k
4，0)， k2
l2与y轴交点B的坐标为(0，4?)，
k
?l1与x轴交点A的坐标为(2? ∵M为AB的中点，
4?
2???1?2x???2k ??(k为参数)
2?4?
?k?2?1y??2k?
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： |MP|?
1
|AB| 2
解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP|? ?(x?2)?(y?4)?
2
2
1
|AB| 2
1
(2x)2?(2y)2 2
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。 分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，
4?04?2y
，kPB?
2?2x2?044?2y
???1，化简，得x?2y?5?0
2?2x2
而kPA?
注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
【点评】
1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB
1
＝－1，|MP|?|AB|这些等量关系。。
2
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。
篇三：新课标用定义法求轨迹方程
第八章9.1用定义法求轨迹方程学案
教学目标、重难点
知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法。
能力目标： 通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。
通过引导探究问题，培养学生的创新意识和探究能力。
情感目标： 主动参与教学过程，提出问题，解决问题 ，激发潜能，体验成功。
[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。
[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征
解题步骤
学案内容：
基础梳理
1．圆及圆锥曲线的定义
(1)圆（文字内容） （表达式）(2)椭圆： （文字内容） （表达式）（3）双曲线 （文字内容）（表达式） (4)抛物线（文字内容） （表达式）（5）圆锥曲线统一定义
（文字内容）
（表达式）2、两圆位置相切时半径与圆心距的关系
典型例题探究一：(基础题小练)
1、已知A（2,3）且，则点P的轨迹方程是：
2、已知?ABC的一边BC的长为3，周长为8，则顶点A的轨迹是什么？
引申：能把正弦定理加进来考吗？
易漏易错点：
3、若A(?2,0)，B(2,0)，且MA?MB?2，则动点M的轨迹是什么？
引申：把数字2换成别的数字后轨迹变了吗？
易漏易错点：
4、过点(1,0)且与方程x??1相切的圆的圆心的轨迹是什么？
易漏易错点：
x2y2
5、已知F1,F2分别是双曲线?2?1的左、右焦点,P为双曲线上一点,过F1作?F1PF2的36b
平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为( )
A. 椭圆B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线
典型例题探究二：（教材课后题分析）
如图，圆O的半径为定长r ，A是圆O外一个定点 P是圆上任意一点 线段AP的垂直平分线m和直线OP交于点Q当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
若点A在圆外呢？
典型例题探究三：（定圆相切问题）
6、一动圆与圆O1：(x?3)2?y2?4外切，同时与圆O2：(x?3)2?y2?100内切，求动圆圆心的轨迹方程.
解题策略： 归纳“定义法”求轨迹方程的一般步骤： 变式1：一动圆与圆O1：(x?3)?y?4外切，同时与圆O2：(x?3)?y?9内切，求动圆圆心的轨迹方程。
变式2：已知圆O1：(x?2)?y?4，动圆M与圆O1外切，且与y轴相切，求动点M的轨迹。 222222
典型例题探究四（与向量相关的轨迹）
??7、设向量i，j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量?(x?3)i?yj，
??b?(x?3)i?yj，
??2，则满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程是
典型例题探究五：（立体几何问题）
9如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P是侧面BC1内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）
A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线
课后训练题：
10、到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )
A. y＝16x2 B. y＝－16x2
C. x2＝16y D. x2＝－16y
11、动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程
2212、与圆x?y?4x?0外切,又与y轴相切的圆心的轨迹方程为
13、一动圆与O1
圆心的轨迹方程。
圆：(x?3)?y?4外切，同时与圆O2：(x?3)?y?16内切，求动圆2222
14．?ABC顶点为A(0,?2)，C(0,2)，三边长a,b,c成等差数列，公差d?0，求动点B的轨迹方程。
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