篇一：高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn?
?a1?an?n?na
2
1?
n?n?1?
d 2
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1
?
bmT2m?1
（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界
项，
?an?0
即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?a?0
当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?
，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
S偶?S奇?nd，
S奇S偶
?
an
. an?1
，有
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?
1
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an，
S?
nn?1
. 偶
2. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1
?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn
. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?
xy，或G?
?na1(q?1)前n项和：S?
n???
a1?1?qn?（要注意！）
?1?q
(q?1)性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
如：数列?a12?11
n?，a122a2?……?2
nan?2n?5，求an
解 n?1时，1
2a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11
122a2?……?2
n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：1n?1
?14(n?1)2nan?2，∴an?2，∴an???
2n?1(n?2) ［练习］数列?a5
n?满足Sn?Sn?1?3
an?1，a1?4，求an
注意到aSn?1
n?1?Sn?1?Sn，代入得
S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n
；
2
①
②
Sn?4n
n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1
（2）叠乘法
an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求an
ann?1
解
3aa1a2a312n?1
，∴n?又a1?3，∴an?……n?……
n. a1na1a2an?123n
（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
?
a3?a2?f(3)??
n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??
a2?a1?f(2)
∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式
n?1
?an?1?n?2?，求an（
an?
1n
3?1??2）
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?
ddd??
，c为公比的等比数列 ，∴?an??是首项为a1?
c?1c?1c?1??
∴an?
dd?n?1d?n?1d??
，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?
c?1?c?1?c?1?c?1?
（5）倒数法 如：a1?1，an?1?
2an
，求an an?2
由已知得：
a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2
?1?11111
·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?
2a1an22?an?
3
∴an?( 附：
2n?1
公式法、利用
an?
?
S1(n?1)
Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?
1
k?1akak?1
n
解：由
n
111?11?
??????d?0?
ak·ak?1akak?dd?akak?1?
n
?111?11?1??11??11?1??
?????????……??∴???????? ??
ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??
?
1?11?
??? d?a1an?1?
［练习］求和：1?
111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n
1
an?……?……，Sn?2?
n?1
（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由
Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
4
②
x?1时，Sn
1?x?nx???
n
n
?1?x?
2
1?x
，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?
n?n?1?
2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an?
?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?
x2
［练习］已知f(x)?，则 2
1?x
?1?
f(1)?f(2)?f???f(3)?
?2??1?
f???f(4)??3?
2
?1?
f????4?
?1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222
x1?x1?x1?x???1?
1????x?
?
∴原式?f(1)??f(2)?
?(附：
?1???
f?????f(3)??2????1???
f?????f(4)??3???1?1??1
f?????1?1?1?3
2?4??2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
篇二：高中数学数列知识点总结
五、数列
一、数列定义：
数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；
其中an表示数列{an}的通项。
注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；
（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，
它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?
（3）anSnan??
S?S(n?2)n?1?n
*
如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。
二、等差数列、等比数列的性质：
如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?
（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：
（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?
（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ； （4）若SP?Sq，则n?时，Sn最大。 （5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，
则
ambm
?S______T______
；
ambn
??
S______T______
（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n?
间的两项）
S偶?S奇?n(a1?a2n)
2
?
n2
(an?an?1)（an与an?1为中
S奇S偶
?
项数为奇数2n?1的等差数列{an}，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）
S奇?S偶?S奇S偶
?S奇?S偶?
等比数列中还有以下性质须注意：
（1）若{an}是等比数列，则{?an}(??0)，{|an|}也是等比数列，公比分别
（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：
（1）等差数列的判定方法：
1an
，{an}也是等比数列，公比分别 ； ；
2
①定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?{an}是等差数列 ②中项公式法：2an?1?an?an?2?{an}是等差数列
③通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?{an}是等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?{an}是等差数列 注意：①②是用来证明{an}（2）等比数列的判定方法：
①定义法：
an?1an
?q或
anan?1
?d(n?2)（q是不为零的常数）?{an}是等比数列
②中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?{an}是等差数列
n
③通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?{an}是等差数列
2
2
④前n项和公式法：Sn?kq?k（k?
a1q?1
是常数）?{an}是等差数列
注意：①②是用来证明{an}四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为an?1?an?f(n)：迭加法 如：已知{an}中a1?
12
，an?1?an?
14n?1
2
，求an
③递推式为an?1?f(n)an：迭乘法 如：已知{an}中a1?2，an?1?
n?1n
an，求an
④递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：
?an?1?pan?q
构造法：Ⅰ、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则
a?pa?qn?1?n?2
{an?1?an}为等比数列。
Ⅱ、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?
为等比数列。
如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an ⑤递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：
两边同时除去qn?1得再用④法解决。 如：已知{an}中，a1?
56
qp?1
，则{an?
qp?1
an?1q
n?1
?
pq
?
anq
n
?
1q
，令bn?
anq
n
，转化为bn?1?
pq
bn?
1q
，
，an?1?
1
1n?1
an?()，求an 32
⑥递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：
将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?
s,t，于是{an?1?tan}是公比为s的等比数列。
?s?t?p?st??q
解出
如：已知{an}中，a1?1,a2?2，an?2?
S1,n?1?
（3）公式法：运用an??
?Sn?Sn?1,n?2
23
an?1?
13
an，求an
2
①已知Sn?3n?5n?1，求an；②已知{an}中， Sn?3?2an，求an；
③已知{an}中，a1?1,an?五、数列的求和法：
2Sn
2
2Sn?1
(n?2)，求an
（1）公式法：
①等差（比）数列前n项和公式：②1?2?3???n?；
③1?2?3???n?（2）倒序相加（乘）法：
012n
如：①求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn；
2222
n(n?1)(2n?1)
6
；④1?2?3???n?[
3333
n(n?1)
2
]
2
篇三：高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与
项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an?? S?S,(n?2)n?1?n
2. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d?am?(n?m)d
等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，
Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0
?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1
.
（3）{kan}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)a1?a2???am,am?1?am?1???a2m,a2m?1?a2m?1???a3m?仍成等差数列.
(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
3. 等比数列的定义与性质
定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an
等比中项：x、G、y成等比数列?G2?
xy，或G?
前n项和：
?na1 (q?1)?na1 (q?1)??Sn??a1?anqa1(1?qn)??a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn.
注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.
（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.
（6）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等比数列，
（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.
（8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n
解：由
n111?11???????d?0? ak·ak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1
?1?11???? d?a1an?1?
［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n
1an?……?……，Sn?2? n?1
（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
① x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn
①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
x?1时，Sn ② ?1?x??nx?nn
?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?… Sn?an?an?1?……?a2?a1?
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